2.4.5. Связь между аналоговым и дискретным сигналом

Д искретный сигнал представляет собой последовательность выборок аналогового сигнала с интервалом дискретизации Т. Соотношение, устанавливающее связь между спектрами аналогового и дискретно­го сигналов, имеет вид

(20)

где ω_D=2π/T

Иными словами, спектр дискретного сигнала (с точностью до постоянного множителя 1/Т ) равен сумме спектров исходного аналогового сигнала, смещен­ных друг относительно друга на все возможные значения частоты, кратные час­тоте дискретизации, т. е. на значения mω_D , m=0,±1,±2…

Это соотношение (20) получается путем вычисления (15) для i= пТ, причем инте­грал с бесконечными пределами заменяется бесконечной суммой интегралов на ин­тервалах величиной 2π/T

На рис. 18 условно изображены модули спектров исходного аналогового вещест­венного сигнала (позиция 1) и соответствующего дискретного сигнала на абсолютной (позиция 2) и нормированной (позиция 3) осях частот.

Спектр вещественного сигнала полностью описывается в основной по­лосе частот [0,f_D/2]. Составляющие спектра, расположенные в этой полосе частот, называют основным спектром.

Е сли аналоговый сигнал имеет финитный спектр, т. е. такой, что его составляю­щие равны нулю при | f | ≥ f_max (см. рис. 18), причем

f_max ≤f_D / 2 (21)

т о спектр дискретного сигнала в основной полосе частот имеет вид

(22)

Если граничная частота спектра не удовлетворяет этому условию, то при дискретизации происходит наложение спектров. На рис. 19 показан соответствующий случай. Верхняя граничная частота спектра исходного сигнала f_max >f_D / 2.

Спектр дискретного сигнала в основной полосе частот не совпадает со спектром исходного аналогового сигнала.

По дискретному сигналу можно восстановить исходный аналоговый сигнал, если при дискретизации выполняется условие (21).

2.4.6.Функции, не имеющие преобразований Фурье или ряда Фурье

Не всякую функцию можно записать в виде интеграла Фурье. Для существования интегралов функции x(t), A(ω) и B(ω) должны стремиться к нулю при больших |x| и |ω|.

Точно так же не для любой функции существует ряд Фурье. На практике обычно интересуют функции, заданные на конечной области, и не интересует, что происходит вне этой области. С такой ситуацией можно справиться тремя способами:

1) Предположить, что изучаемая функция тождественно равна нулю вне интересующей нас области или очень быстро стремится там к нулю. Такая функция будет иметь интегральное преобразование Фурье, но не будет иметь ряда Фурье.

2) Предположить, что функция периодична. Такая функция будет иметь ряд Фурье, но не будет иметь интегрального преобра­зования Фурье.

3) Предположить, что функция определена на всей прямой от - ∞ до ∞, но нам доступно лишь ее произведение с другой функцией, равной единице на интересующем нас интервале и нулю вне его. Такая функция со значениями нуль или единица называется окном.

Есть два вида функций, которые играют важную роль в понимании свойств рядов и преобразований Фурье, - это финитные по времени функции и функции с ограниченной полосой частот. Финитные по времени функции отличны от нуля лишь в некотором конечном интервале. У финитной по времени функции не существует ряда Фурье, поскольку она непериодична. Функция с ограниченной полосой частот - это функция, у которой интегральные преобразования Фурье А(ω) и В(ω) не равны нулю только на некотором конечном интервале. В этом случае говорят, что x(t) имеет ширину полосы 2Ω. Существует два основных теоретических результата:

1) Принцип неопределенности Гейзенберга: функция не может одновременно быть финитной по времени и иметь ограниченную полосу частот. Если существует конечный интервал, вне которого функция x(t) равна нулю, то не может быть такого конечного интервала для ее преобразования Фурье, и наоборот.

2) Теорема о наблюдениях: если для функции с ограниченной полосой частот известны ее значения во всех точках k/2Ω, k=-∞, … ,∞, Ω=1/∆, то можно найти ее значения при всех х. Частота наблюдений 1/(2Ω) обеспечивает два наблюдаемых значения за период, отвечающий наивысшей из присутствующих частот, т.е. это частота наблюдений Найквиста, а последовательность получаемых с такой частотой значений является выборкой Найквиста.

В большинстве случаев мы не можем управлять частотой выборки значений функции. Но утверждение (2) означает, что если наблюдения отстоят друг от друга на 2Ω, т.е. производятся с частотой 1/(2Ω), то можно полностью восстановить любую функцию, у которой наивысшая частота равна Ω. Эта идея допускает простое приложение к передаче телефонных сигналов. Пусть, телефонная компания хочет обеспечить передачу звуковых сигналов вплоть до частоты 2500 колебаний в секунду. В соответсвии с теоремой о наблюдениях сигнал от источника можно кодировать 5000 дискрет­ными точками в секунду и при этом точно восстанавливать его на выходе. Это значит, что не обязательно передавать полный аналоговый сигнал от источника к приемнику, надо передавать только 5000 его значений в секунду. Это может показаться огромным объемом инфор­мации, но на самом деле линия связи остается незанятой большую часть каждой секунды. Разумеется, линия может при этом использоваться для передачи другого сообщения.

Если наблюдения отстоят друг от друга на 2Ω, то о частотах выше Ω ничего сказать нельзя. Если все же попытаться сделать это, то получатся неверные результаты.