1. Способы описания процессов.

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении исходного сложного сиг­нала в ряд. Среди разнообразных задач, требующих разложения сложного сиг­нала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на простейшие ор­тогональные функции; 2) приближенное разложение (аппроксимация) сигна­лов, когда требуется свести к мини­муму число членов ряда.

При первой постановке задачи наибольшее рас­пространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций— синусов и косинусов, т. е. ряд Фурье. Это объясняется в первую очередь тем, что моногармоническое колебание (отдельный член ряда) яв­ляется простейшим и наиболее распро­страненным видом колебательных про­цессов в природе. Моногармоническое колебание — единственная функция времени, сохраняющая свою форму при прохождении колебания через любую линейную систему (с постоян­ными параметрами). Изменяется лишь амплитуда и фаза колебания. Разло­жение детерминированного сигнала по синусам и косинусам позволяет ис­пользовать традиционные методы, подробно разработанные для анализа воздействия гармонических колебаний на линейные системы. В слу­чае приближенного разложения коле­баний применяются разнообразные ор­тогональные системы функций: поли­номы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и многие другие.

Д ругой способ представления про­цессов связан с использованием инте­гральных преобразований. Линейное интегральное преобразование про­цесса х (t) в общем виде определяется следующим образом:

Интегральное преобразование перево­дит непрерывную функцию х(t) в не­прерывную функцию X (φ). Свойства интегрального преобразования опре­деляются ядром r(t,φ). Интегральные преобразования часто применяются тогда, когда функция X (φ) по виду проще, чем х (t). Их удобно исполь­зовать для записи зависимости выход­ного процесса от входного, при нахождении огибающих узкополосных сиг­налов, при определении распределения энергии сигналов по частотам и пр. Обычно используют интегральные пре­образования Фурье, Лапласа, Гиль­берта.

Получение и изучение индивидуаль­ных частотных компонент исследуемых процессов будем называть спектраль­ным (частотным, гармоническим, Фурье) анализом. Оба упомянутых подхода к спектральному анализу (раз­ложение в ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье) могут при­меняться в любом случае, но могут быть причины, по которым один под­ход предпочтительнее другого.

При разложении в ряд Фурье часть записи колебательного процесса, вы­бранная для анализа, принимается за период (или за целое число таких периодов), а вся запись предполагается состоящей из повторений этого отрезка в обе стороны от анализируемого интер­вала. Результирующий спектр — ди­скретный и соответствует членам раз­ложения в ряд Фурье с частотами, оп­ределяемыми через выбранную дли­тельность основного периода. Каждая линия дискретного спектра представ­ляет собой отдельную гармоническую компоненту. Такие условия полностью выполняются только для периодиче­ских колебаний. Совокупность частот гармонических составляющих, распо­ложенных в порядке их возрастания, называется частотным спектром дан­ного периодического процесса.

Интегральное преобразование Фурье предполагает, что процесс имеет нуле­вые значения вне исследуемого интер­вала. Результирующий спектр — не­прерывный, и его форма соответствует огибающей разложения в ряд Фурье. Интенсивный пик непрерывного спект­ра может быть обусловлен группой компонент с близкими частотами.

Ясно, что ни одно из этих предполо­жений (повторяющиеся или нулевые значения вне анализируемого отрезка записи) не является строго коррект­ным. В обоих случаях эти предполо­жения приводят к тем большим по­грешностям, чем меньше анализируе­мый отрезок процесса. Опыт непара­метрического спектрального анализа колебаний машин и механизмов показывает, что во многих случаях пред­почтительнее применять интегральное преобразование Фурье. Это связано с несколькими причинами. Во-пер­вых, определение сложного колебания величины сигнала по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является не простой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходи­мость ряда Фурье. Во-вторых, для разложе­ния в ряд необходимо иметь данные об основном периоде процесса, а в боль­шинстве случаев основной период (ча­стота) неизвестен, в то время как спектральный анализ на основе инте­грального преобразования не нуждает­ся в подобных предварительных оцен­ках. В-третьих, оба подхода при спек­тральном анализе случайных процессов дают случайный, т. е. неустойчи­вый, спектр, когда нельзя пренебречь его статистической изменчивостью. В этом случае спектральный анализ на основе интегрального преобразования открывает пути получения спектраль­ной плотности исследуемого процесса как статистически достоверной оценки его спектра. Применение интегрального преобразования Фурье для детерми­нированного периодического процесса позволяет получать характерный спектр с чередованием пиков и глубо­ких провалов и таким образом сделать правильный вывод, например, о ди­скретном характере спектра.

Интегральное преобразование обычно применяется для аналоговых сигналов. Для цифровых сигналов, представленных в виде выборок используется дискретное преобразование Фурье.