1.8. Связь напряженности с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической ха­рактеристикой поля

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены беско­нечно близко друг к другу и x₂-x₁= x, равна E·Q· х. Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

, (1.22)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование произ­водится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для оси у и z, можно найти вектор :

.

где , , - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что выражение можно записать как

, или , (1.23)

где - набла-оператор. Следовательно, напряженность E поля равна градиенту потенциала со знаком минус.

Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направ­лен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростати­ческого поля пользуются эквипотенциальными поверхностям и. Линии напряженности, а следовательно, вектор всегда перпендикуляр­ны к эквипотенциальным поверхностям. Поэтому работа по перемещению за­ряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой систе­мы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно про­водят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними экви­потенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенци­альных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

Рис. 14

На рис.14 для примера показан вид линий напряженности (штриховые ли­нии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положи­тельного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имею­щего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).

1.9. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позво­ляет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плос­кости определяется формулой Е= , где - поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях xi и х₂ от плоскости (используем формулу (1.22)), равна

2. Поле двух бесконечных параллельных разно­ именно заряженных плоскостей определяется формулой Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d (см. (1.22)), равна

. (1.24)

3. Поле равномерно заряженной сферической по­верхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (г > R) вычисляется

по формуле

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях п и г₂ от центра сферы (г_} > R, r₂ > R), равна

. (1.25)

Рис. 15

Если принять и то потенциал поля внесферической поверхности задается выражением (ср. с формулой (1.19)). График зависимости приведен на рис. 15

4. Поле равномерно заряженного цилиндра радиуса R, заряженного с линейной плотностью х, вне цилиндра (г > R) определяется фор­мулой . Следовательно, разность потенциалов между двумя точка-

ми, лежащими на расстояниях и от оси заряженного цилиндра (r >R, r >R), равна

. (1.26)