16. Уравнения и свойства эвольвентной боковой поверхности зуба.

Боковой профиль зуба колеса - эвольвентный. Эвольвенту описывает точка М(рис. 5.1), закрепленная на прямой МК (воспроизводящая прямая), при качении без проскальзывания этой прямой по неподвижной окружно­сти (основная окружность).

Из кинематики следуют основные свойства эвольвенты:

1. Эвольвента расположена вне основной окружности (внутри ее не может быть).

2. Отрезок МК является радиусом кривизны эвольвенты в произ­вольной точке Ми ее нормалью в этой точке. Отрезок М₁К₁, проведенный через любую точку М₁ эвольвенты касательно к основной окружности, яв­ляется радиусом кривизны эвольвенты в точке М₁.

3. Нормаль к эвольвенте в любой точке М₁ касается основной окруж­ности в точке К₁.

4. Эвольвента - разворачивающаяся кривая, поскольку радиус кри­визны по мере возрастания а неограниченно увеличивается (а - угол развернутости эвольвенты в точке М), r_b - радиус основной окружности.

Получим уравнение эвольвенты: или откуда (5.2) инволюта a (inv a) - табличная функция, а θ - эвольвентная функция угла а. Из рис. 5.1 полярный радиус: (5.3)

Выражения (5.2) и (5.3) - параметрические (параметр а) уравнени эвольвентного профиля в полярных координатах с полярной осью М₀О полярным (эвольвентным) углом θ.

5. При возрастании r_b радиус кривизны эвольвенты МК увеличивает ся при любых a, а при он составляет .

Таким образом, у зубчатой рейки боковая поверхность эвольвентно го зуба очерчена прямой. Это имеет большое значение при конструиров-нии зуборезного инструмента.

Зубчатые передачи пришли на смену фрикционным (рис. 5.2).

Если пренебречь скольжением, то: , откуда - передаточное отношение от ведущего колеса 1 (шестерни) к ведомому колесу (называется колесом): если радиусы r_w1 и r_w2 не изменяются.

Передаточное отношение - отношение угловых скоростей - являет­ся основным кинематическим параметром любой передачи. Оно показывает, сколько оборотов нужно сделать ведущему колесу для одного оборота ведомого колеса, либо во сколько раз передача снижает обороты.

Во фрикционной передаче, чтобы передать значительные мощности, необходима большая сила прижатия катков Q. Но сила Q ограничена контактной прочностью материалов в точке К.

В зубчатых передачах не требуется большой силы Q, т.к. передача уси­лия осуществляется боковыми поверхностями зубьев (а не за счет сил трения).

У зубчатых колес окружности радиусов r_wl и r_w2 являются вообра­жаемыми; их называют начальными. Эти окружности перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами в относительном вра­щении. Введем в зацепление два эвольвентных профиля (рис. 5.3). К - точка контакта эвольвентных профилей зубьев.

Эвольвенты - гладкие прямые, т.е. имеют общую касательную и об­щую нормаль. Две полунормали к ним в точке К касаются основных ок­ружностей и являются общей нормалью к эвольвентам в точке их касания. Перпендикуляры 0₁N₁ и 0₂N₂ - радиусы r_b1 и r_Ь2 основных окружностей.

Вдоль общей нормали N_XN₂ передаются силы между зубьями. Общая нормальная скорость:

направлена по линии зацепления N₁N₂.

Отсюда: Но, из подобия прямоугольных треугольников O₁ПN1 и 0₂ПN_г следует:

Поэтому:

1. Точка П - полюс зацепления (0₁П и O₂П - начальные радиусы r_w1 и r_w2 колес).

2. Чтобы боковые профили зубьев обеспечивали постоянство пер даточного отношения, общая нормаль к ним в точках зацепления должна проходить через полюс зацепления П (основной закон зацепления).

3. Передаточное отношение определяется отношением и не меняется, если

4. С изменением межосевого расстояния в беззазорном эвольвентном зацеплении меняется лишь угол зацепления a_w.

Для нулевых колес а₀ - 20°. По условию, что шаги (модули) как распределение шага между толщиной выступа и шириной впадины по начальным окружностям должны быть одинаковы, на роль последних могут претендовать лишь делительные окружности.

Поэтому:

Передаточному отношению пары колес приписывают знак: «+» - вращаются в одном направлении (при внутреннем зацеплении «-» - вращаются в противоположных направлениях (при внешнем зацеплении).

При зацеплении боковых поверхностей зубьев, точка их контакта ремещается по общей касательной к основным окружностям колес, ко рая называется линией зацепления. Кинематически передача движения одного эвольвентного зуба к другому аналогична передаче его нерастяжимой нитью с катушки радиусом r_b1 на катушку радиуса r_Ь2. Вдоль этой нити передаются усилия, как и по линии зацепления. При изменении межосевого расстояния передаточное отношение не изменяется, т.к. радиусы катушек при этом не изменяются, но изменяется наклон нити к линии межосевого расстояния 0₁0₂ (т.е. изменяется угол зацепления а).