Механика

Задание 1 (выберите один вариант ответа). 

Два тела брошены под одним и тем же углом к горизонту с начальными скоростями   и  . Если сопротивлением воздуха пренебречь, то соотношение дальностей полета   равно... Варианты ответов: 1)  ;    2)4;    3) 2;    4)  .     Решение: Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется по закону равномерного движения: 

(1)

(2)

Время полета равно удвоенному времени поднятия тела на максимальную высоту (точка А), где вертикальная скорость становится равной 0. Запишем в скалярном виде закон скорости движения тела в вертикальном направлении и выразим время движения до точки A:  , в т.   , отсюда 

Полное время движения тел (до т. ):

(3)

(4)

Подставим значение   и   в (1.1) и (1.2) соответственно и найдем дальность полета для каждого тела. 

Определим искомое отношение: 

Ответ: 4.

Задание 2. 

Материальная точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Если проекция тангенциального ускорения на направление скорости положительна, то величина нормального ускорения: 1) уменьшается;    2) увеличивается;    3) не изменяется Решение: по условию задачи  , известно, что   следовательно, скорость точки изменяется со временем по линейному закону:  ¹. Поскольку нормальное ускорение связано с линейной скоростью соотношением:   и   растет, то значение нормального ускорения будет увеличиваться. Ответ: увеличивается.

Задание 3.

Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени   изображена на рисунке. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 метр от оси вращения, равно: 1)  ;    2)  ;     3)  ;    4)  . Решение: В общем виде зависимость   имеет вид:  С учетом конкретных данных, полученных из графика, запишем:  Определим угловое ускорение (коэффициент при  ):  

Учитывая связь между тангенциальным и угловым ускорением,

  рассчитаем искомое тангенциальное ускорение:      Задание 4.  Материальная точка двигалась вдоль оси   равномерно с некоторой скоростью  . Начиная с момента времени   на нее стала действовать сила   , график зависимости от времени которой представлен на рисунке:     Графиком, правильно отражающим зависимость величины проекции импульса материальной точки, будет: 1) 2)  

3)

4)

  Решение: На участке   на тело действует постоянная сила, следовательно, тело движется с постоянным ускорением. При этом скорость меняется по закону:  , то есть линейно растет со временем. Проекция импульса материальной точки:   также линейно растет со временем на участке  . (Это первый или четвертый вариант графика.) Рассмотрим участок, соответствующий времени  . Сила на этом участке не действует на материальную точку и равна  . Следовательно, точка движется без ускорения с постоянной скоростью, и импульс не меняется со временем. Графиком, правильно отражающим зависимость величины проекции импульса от времени, будет график 4.  Ответ: график 4.

Задание 5 (выберите один вариант ответа). 

Система состоит из трех шаров с массами  ,  ,  , которые движутся так, как показано на рисунке.

Если скорости шаров равны  ,  ,  , то величина скорости центра масс этой системы в м/с равна...

Варианты ответов: 1)  ;    2) 4;     3)  ;    4) 10.

     Решение: Скорость центра масс замкнутой системы материальных точек: 

(5)

Для определения модуля скорости центра масс найдем проекции выражения (1.5) на оси   и  . Тогда: 

Произведем соответствующие расчеты: 

Ответ: 

Задание 6 (выберите один вариант ответа). 

Две материальные точки одинаковой массы движутся с одинаковой угловой скоростью по окружностям радиусами   . При этом отношение моментов импульса точек   равно...

Варианты ответов: 1) 2;    2) 4;     3) 1/4;    4) 1/2.

    Решение: Момент импульса материальной точки:  Скорости точек соответственно: 

Запишем выражения для моментов импульса точек в скалярном виде с учетом данных задачи:

(6)

(7)

Найдем искомое отношение, разделив (1.6) на (1.7):

Ответ: 4.

Задание 7.

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и угловую скорость его вращения увеличить в 2 раза, то момент импульса тела...