Билет №12

Вопрос 1

Предел функции при произвольном стремлении аргумента

Геометрическая интерпретация для случая

Теорема о пределе промежуточной функции

Теорема о предельном переходе в неравенстве

Билет №12

Вопрос 2

Обратной к f(x) называется функция x=g(y) с областью определения Y и множеством значений X, которая каждому у Y ставит в соответствие тот элемент xX, для которого f(х) = у. Часто для обратной функции применяется обозначение x=f ^-1(y).

Билет №13

Вопрос 1

Постоянное число a называется пределом последовательности {a_n}, если:

при этом пишут или при .

Подчеркнем, что выбирается произвольно, а число N должно быть указано после выбора .

Из определения последовательности немедленно вытекает, что предел постоянной (последовательности) ( ) равен самой этой постоянной, т.к. неравенство (2) выполняется тривиальным образом для любого при всех натуральных N.

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).

Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится

Теорема: "Необходимым и достаточным условием сходимости {z_n} является требование {a_n} a; {b_n} b." Доказательство. Необходимость. >0  N( ): z_n-z< для  n N a_n-a z_n-z< ,

b_n-b z_n-z <  {a_n} a, {b_n} b. Достаточность.  >0  N₁( ): a_n-a < /2 для  n N₁,  N₂(): b_n-b< /2 для  n N₂N=max{N₁,N₂}: z_n-z a_n-a+b_n-b< для  n N.

Число e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число (вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим).

Билет №13

Вопрос 2

Значение f(x0) в точке х₀(a,b) называют локальным максимумом (локальным минимумом) функции f(x), если существует такая проколотая окрестность точки х0, что (f(x) ≥ f(х₀)).

Теорема . (2-ой достаточный признак экстремума) : Если функция  (x₀ ) = 0 , т.е. x₀ - стационарная точка функции (x) и (x₀)<0, то в точке x₀ функция (x) имеет max; если же (x₀)>0 , то в точке x₀ функция (x) имеет min.

Запишем, для функции (x) в окрестности точки x₀ локальную формулу Тейлора с n=2:

+ +

В силу того, что  (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x₀. Тогда: f'(x₀) = 0.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные f' ₊ (x₀),f' ₋ (x₀). Тогда при условии

x₀ является точкой строгого локального максимума. А если

то x₀ является точкой строгого локального минимума. Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x₀

Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x₀. Тогда при условии f'(x₀) = 0 и f''(x₀) < 0 x₀ является точкой локального максимума. А если

f'(x₀) = 0 и f''(x₀) > 0 то x₀ является точкой локального минимума.