Билет № 5

Вопрос 1

Второй замечательный предел

Доказательство: как известно , где Этот предел доказывается через теорему Вейерштрасса с использованием бинома Ньютона.

Следствия второго замечательного предела:

Билет № 5

Вопрос 2

Теорема Ролля

Если функция, непрерывная на сегменте [a;b] и дифференцируемая на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство: Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл:

Если крайние ординаты кривой равны, то согласно теореме Ролля на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс. А) нет Б) да

Билет № 6

Вопрос 1

1. Предел функции при , геометрическая интерпретация

Теорема о пределе сложной функции

Билет № 6

Вопрос 2

Максимумы и минимумы ф-ии на отрезке наз-ют локальными экстремумами ф-ии.

Точка называется точкой локального минимума(максимума) функции f(x) , если существует такая окрестность этой точки ( ),что для любого х принадлежащего

f(x)≥f( ) –мин

f(x)≤f( ) –макс

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

1. - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

_на : где ,

Экстремум в точке имеет место в 2х случаях:

1. =0

2. Не Существует ( )

( ( )=∞)

p.s. если ( ) =0 , то точки, где она =0 ,называются стационарными.

Билет № 7

Вопрос 1

Свойства первого замечательного предела:

Билет №7

Вопрос 2

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический смысл производной: если функция описывает какой-либо физический процесс, то её производная есть скорость протекания этого процесса

Геометрический смысл: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции

Билет №8

Вопрос 1

Функция, непрерывная на отрезке

Свойства (в виде теорем):

1. (1-ая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке

2. (2-ая теорема Вейерштрассе) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

3. (1-ая теорема Больцано-Коши) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка , в которой данная функция обращается в нуль:

4. (2-ая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между

В пример для а) и б) можно привести график ф-ии синуса или косинуса