11. Примеры некорректно поставленных задач Коши

1)Зад. Коши для гиперб. ур-ния с нач. усл. на хар-ке.

Рассм. зад. Коши:

на (1)

( 2)

где .

Предпол., что зад. Коши (1), (2) имеем реш. , облад. непрер. смешанной произв. в области . Т.к. линия принадлежит области, то ДУ (1) должно выполн. на линии, т.е.

.

Учитывая второе условие (2), получ. необх. Усл. разрешимости зад. Коши (1), (2)

. (3)

Если усл. (3) не вып., то зад. (1), (2) не имеет решение.

Построим реш. зад. Коши (1), (2), предполагая, что усл. (3) выполнено. Воспольз. общим реш. (5.2) ДУ (1), где ф-ции определим из начальных условий.

Из 1-го нач. усл. получим, что

.

Положим .

Тогда второго нач. усл. получ. , что

.

Учитывая усл. разрешимости (3), получим соотношение . Т.о. произв. ф-ция удовл. усл. , .

Общий вид такой функции

,

где произвольная функция ,

Т.о., получено реш. зад. Коши (1), (2) в виде:

,

к-рое не единственно в силу произвольности функции .

В итоге приходипм к выводу, что задача Коши (1), (2) поставлена некорректно, т.к. не вып. 1-е или 2-е усл. корректности из опр. (10.2).

2)Зад. Коши для параболического уравн. с нач. усл. на хар-ке.

Рассмотрим задачу Коши

на , (4)

, , (5)

Предпол., что классич. реш. зад. (4), (5) сущ. для обл. . Т.к. линия принадл. данной обл., то ДУ (4) должно выпол. и на линии, т.е.

.

Учитывая нач. Усл. (11.5), получаем соотношение

.

Это усл. показ., что нач. ф-ция выражается через ф-цию и коэф. ДУ (4), поэтому ф-ция не может быть произв.. Это означает, что второе начальное условие (5) явл. лишним.

В результате приходим к постановке задачи Коши для параболического уравн. с 1-м нач. усл. на хар-ке:

на

(6)

в то время как задача Коши в постановке (4), (5) некорректно поставлена в случае произвольной функции .

3)Пример Адамара зад. Коши для эллиптического ур-ния.

Рассмотрим зад. Коши

на , (7)

, , . (8)

ДУ (7) явл. ур-нием типа Коши-Ковалевской, поэтому в случае аналитических ф-ций и на осн. теор. Коши-Ковалевской закл, что задача (7), (8) имеет аналит реш. в некоторой достаточно малой окр-сти линии . Т.о., первые 2 усл. корректности выполнены (локально). Иссл. 3-е условие корректности, т.е. усл. о непрер. зав-ти от нач. ф-ций. Для этого рассм. две задачи Коши с разл. нач. усл. специального вида:

, ,

, , (9)

, ,

где - фикс. положительный параметр.

Решения данных задач определяются выражениями

, .

Введем пространства функций , , с соотв. метр. расст.:

,

.

Согласно опр. (10.2), применительно к задачам (9) и (10), по , что если и (при ), тогда должно вып. нер-во

.

Очевидно, что нер-во не выполнено при достаточно больших знач. пар. , т.к. .

Т.о., задача Коши (7), (8) поставлена некорректно, т.к. не выполнено 3-е усл. корректности из опр. (10.2).