3. Геометрические хар-ки сечений

3.1. Статические моменты сечения

Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе координат x, y (рис. 3.1) и рассмотрим два следующих интегральных

(3.1)

Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй  относительно оси y.

При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей

x = x1 + a; y = y1 + b. (3.2)

Подставляя (3.2) в (3.1) получим:

(3.3)

Величины а и b можно подобрать, bF = S_x ;    aF = S_y ,

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

Точка С центр тяж сечения в

системе координат (x, y)

Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) Тогда

С ледовательно,статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

3.2. Моменты инерции сечения

В системе координат x0y рассмотрим три интегральных выражения:

Первые два называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье центробежным моментом инерции сечения относительно

осей x, y.

Для сечений, состоящих из n-числа областей по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим

3.15

(3.8)

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R.

Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием: ² = x² + y²,следоват, Так как оси x и y для круга равнозначны, то Ix = Iy =

3.3. Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = y sin  + x cos ;     

v = y cos   x sin  . (3.10)

Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

Складывая первые два уравнения, получим:

I_u + I_v = I_x + I_y = I_ , (3.12)

где ;

находим значение

 = ₀ , при котором функция Iu принимает экстремальное значение:

С учетом можно утверждать, что при  = ₀ один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при  = ₀  Iuv обращается в нуль, что легко установить из (3.11).Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают

экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

Внешние воздействия и внутренние силы. Классификация элементов конструкции. Сопромат – наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций.

Введем основные понятия, принимаемые при изучении дисциплины.

Прочность – это способность конструкции выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость – способность конструкции к деформир

Деформир – св-во констр изменять свои геом размеры и форму под действием внешних сил

Устойчивость – свойство конструкции сохранять при действии внешних сил заданную форму равновесия.

Отказ – нарушение работоспособности констр

Прочностной надежностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформац элементов конструкции.

Упругость

Пластичностью называется свойство тела сохранять форму после прекращения действия нагрузки,

Ползучестью наз-ся св-во тела увеличивать деформацию при постоянных внешних нагрузках.

Основными моделями формы в моделях прочностной надежности, являются:

стержни, пластины, оболочки и пространственные тела Внешние силы, действующие на элемент конструкции, подразделяются на 3 группы: