4.Потенциал силы тяжести Земли. Свойства потенциала объемных масс.

ПСТ - скалярная функция координат, которая обладает свойствами:

1)частная производная потенциала по какому-либо направлению равна проекции силы на это направление;

Остальные свойства зависят от того, какое тело создает силовое поле. Линия — масса, но нет объема. Наиболее интересны для геодезии 2 тела: объемное тело (Земля) и точка.

Физическое определение потенциала: П — работа, которую нужно совершить при перемещении тела из одной данной точки пространства в бесконечность.

Разность потенциалов в 2х точках равна работе, которую необходимо совершить при перемещении единичной (пробной) массы из одной точки в другую.

Потенциал это однозначная функция координат.

Свойства: Потенциал V конечных объемных масс является функцией непрерывной, однозначной и конечной во всем пространстве. Такими же свойствами обладают и первые производные потенциала.

Уравнение, называемое уравнением Лапласа, устанавливает зависимость между вторыми производными потенциала тяготения объемных масс. Его пишут часто символически,

обозначая левую часть через ΔV, в таком виде: ΔV=0.

Символ Δ называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворяющие условию ΔV=0 в некоторой области τ, называются гармоническими в этой области. Отсюда следует, что потенциал объемных масс во всем внешнем пространствеявляется гармонической функцией координат притягиваемой точки.

ΔV=-4πfδ, где δ-плотность. - уравнение Пуассона.

Из уравнения Пуассона можно сделать вывод, что в тех точках, в которых плотность меняется скачком, претерпевает разрыв непрерывности, по крайней мере одна из вторых производных потенциала V.5

5.Потенциал притяжения и потенциал центробежной силы. Их свойства.

ПП— нек-рая функция от координат точки пространства, характеризующая данное поле тяготения; ее частные производные по координатам равны проекциям силы притяжения материального тела на соответствующие оси.

В том случае, когда силовое поле создается несколькими точечными массами m1, m2,...mn, потенциал притяжения будет иметь вид V=fΣ(m/r).

Потенциал притяжения точечной массы является конечной и непрерывной функцией координат притягиваемой точки Р, если только притягиваемая точка не совпадает ни с одной из притягивающих масс. То же самое справедливо и для производных от V по координатам x, y, z. Одно важное свойство потенциала — скалярность, т.е. потенциал равнодействующей силы равен арифметической сумме потенциалов составляющих.

Потенциал притяжения элементарной массы, находящейся в текущей точкеМ, на точку Р будет: dV=f (dm/r)=f(δdτ/r). Для определения потенциала какого-либо тела необходимо знать форму поверхности, ограничивающей данное тело, и плотность в каждой точке как внутри тела, так и на его поверхности.

Потенциал силы притяжения в данной точке Р численно равен работе, которую производит сила притяжения при перемещении единичной массы из бесконечности в данную точку.

Центробежная сила направлена по перпендикуляру к оси вращения Земли во внешнее пространство. Так как направление центробежной силы совпадает с направлением радиуса ρ параллели точки М, то проекции центробежной силы на оси координат могут быть вычислены по формулам:

Кх=К cos (К, х) =Кcos (ρ, х)

КУ=К cos (К, у)=Кcos (ρ, у)

K2=Kcos (К, z)=Kcos (ρ, z)

Подставляя в формулы значение силы (К=ω^2*ρ) и значения косинусов углов (cos (ρ, х)=x/ρ; cos(ρ,y)=y/ρ; cos(ρ,z)=0), получим:

Кх=ω^2 *х,

Ку=ω^2 *у,

Кz=0.

Нетрудно видеть, что полученные проекции силы являются частными производными по координатам от функции: Q= (ω^2/2)*(x^2+y^2).

Из полученной формулы видно, что потенциал центробежной силы Q на оси вращения равен нулю, а на экваторе имеет максимальное значение. Оператор Лапласа от функции Q будет: ΔQ=2*ω^2.

ω- угловая скорость вращения Земли.