2.4 Эллипсоидальная система координат

Рассмотрим еще одну систему координат, имеющую приложение в теории гравитационного потенциала:

Эти формулы содержат не три, а четыре переменные величины. Четвертая переменная устанавливает семейство координатных поверхностей -- эллипсоидов. Убедимся в этом. Проделаем простые преобразования:

Разделив первое уравнение на   а второе -- на  , получим

Очевидно, что при   получим уравнение эллипсоида вращения

где

Поскольку  , имеем  , отсюда параметр   имеет простой физический смысл: он равен половине межфокусного расстояния. Понятно, что изменяя   при условии  , получим семейство софокусных эллипсоидов, играющих важную роль в теории потенциала фигур равновесия Построим теперь семейство координатных поверхностей  . Проделаем очевидные преобразования

меняя  , получим семейство однополостных гиперболоидов вращения. Обозначив  ,  , получим уравнение гиперболоида в общепринятой форме.

Разделив у на х, получим  . Изменяя  , получим семейство плоскостей, проходящее через ось Оz. Все три семейства поверхностей образуют взаимно ортогональную систему.

33. Нормальное гравитационное поле.

При изучении гравитационного поля Земли обычно используют фиктивное поле силы тяжести или притяжения, уровенные поверхности которых близки к уровенным поверхностям реального земного поля, но имеют более простую по сравнению с ними форму. Такое поле и описывающие его потенциал U силы тяжести или потенциал Vн притяжения называют нормальными. После введения нормального потенциала действительный потенциал W силы тяжести можно записать в виде

W=U+T, (1.1)

Т- аномальный или возмущающий потенциал.

Смысл введения нормального потенциала заключается в переходе от изучения потенциала W силы тяжести реальной Земли к изучению малой величины

Т = W – U. (1.2)

Введение нормального потенциала преследует две цели: в одном случае нормальное поле рассматривают как модель, приближенно представляющую реальное поле Земли; во втором нормальное поле используют как отсчетное, относительно которого находят аномальный потенциал. Т.е. в первом случае речь идет об использовании нормального поля вместо реального, а во втором - об определении отличия реального поля от нормального. В обоих случаях стараются выбирать нормальное поле так, чтобы аномальный потенциал был мал. Тогда в первом случае величиной Т просто пренебрегают, а во втором появляется возможность строить теорию ее определения в линейном приближении, не учитывая члены порядка квадрата аномального потенциала. В качестве нормального всегда стараются выбрать потенциал, который можно описать по возможности простыми аналитическими выражениями, с тем, чтобы в нормальном поле легко решались задачи геодезии, геофизики, небесной механики.

Таким образом, нормальный потенциал можно определить как потенциал достаточно простого вида, по возможности близкий к действительному

Существует несколько способов задания нормального потенциала. В одних используют понятие Нормальной Земли – модели Земли, обладающей теми или иными свойствами. Так, в геофизике задают поверхность и модель внутреннего строения нормальной Земли. Подобная модель впервые была введена А. Клеро(1713-1765), который полагал, что Земля состоит из однородных жидких слоев и находится в состоянии гидростатического равновесия.

В топографии и инженерно-геодезических работах не очень высокой точности поле силы тяжести полагают однородным – все уровенные поверхности считают параллельными плоскостями, а силовые линии – параллельными прямыми. Это означает, что потенциал силы тяжести является линейной функцией

U=U_о -γh (1.3)

высоты h над исходной уровенной плоскостью U=U_о, а нормальная сила тяжести

γ= -∂h/∂U (1.4)

постоянна по величине и направлению.

Еще один способ введения нормального поля основан на разложении потенциала притяжения в ряд шаровых функций, которое в сферических координатах r,Φ,L имеет вид

r – радиус-вектор,Φ - геоцентрическая широта, L –долгота, Р_п^к(Φ) –присоединенная функция Лежандра первого рода степени n и порядка k. Нормальный потенциал получают, оставляя конечное число членов этого ряда. Так, оставляя только член нулевого порядка, т.е. полагая в (1.5) n=k =0, получают

Это означает, что за нормальную Землю принят шар с центрально-симметричным распределением плотности. Произведение GM постоянной тяготения G на массу М Земли называют геоцентрической гравитационной постоянной.

Обычно в ряде (1.5) оставляют только четные зональные члены, не зависящие от долготы. Тогда нормальный потенциал притяжения получит вид

и будет симметричен относительно оси Z вращения Земли и плоскости экватора. Коэффициент А_2п^о этого ряда при п=0 совпадает с (1.6) и является геоцентрической гравитационной постоянной, при п=1

А_т- средний экваториальный, С – полярный моменты инерции Земли соответственно.

Для получения нормального потенциала силы тяжести к (1.8) добавляют потенциал Q центробежной силы

В геодезии обычно используют Нормальную Землю в виде идеальной планеты, имеющей форму эллипсоида вращения, причем эта поверхность является уровенной поверхностью ее потенциала силы тяжести, т.е. на поверхности эллипсоида выполняется условие

U= U_о , (1.13) , U_о - постоянная. Такой эллипсоид называют уровенным. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии потому, что в этом случае одна и та же поверхность является отсчетной при решении и геометрических и физических задач.

Особенно удобно объединение двух последних подходов к выбору нормального поля, когда потенциал уровенного эллипсоида представляют в виде ряда шаровых функций, а коэффициенты разложения (1.8) подбирают так, чтобы одна из уровенных поверхностей потенциала (1.12) силы тяжести была эллипсоидом вращения. Это позволяет построить непротиворечивую модель нормального поля, объединяющую геометрический и физический подходы к изучению Земли.

34.Потенциал нормальной силы тяжести Нормальным значением силы тяжести (   ) называется сила тяжести, обусловленная суточным вращением и притяжением Земли, в предположении, что она состоит из однородных по плотности концентрических слоев.

Принимая Землю за сфероид, Клеро получил следующую приближенную формулу для ее расчета: 

где   - сила тяжести на экваторе;   - географическая широта пункта наблюдения;   - коэффициент, зависящий от угловой скорости вращения и сжатия сфероида.

На поверхности эллипсоида нормальная сила тяжести вычисляется по формуле Гельмерта (или формуле Сомильяна (1.34)

 (1.47)

где

 (1.48)

 (1.49)

Нормальная сила тяжести во внешнем пространстве находится по формуле

 (1.50)

где Н - высота над эллипсоидом. Значения коэффициентов приводятся для эллипсоида со сжатием a=1/298.257+0.001 и силе тяжести на экваторе g_e =978033 мГал.

Однако Земля - геоид, и нормальные значения силы тяжести для его поверхности рассчитываются по формуле:

(1.4)

где   - географическая долгота точки наблюдения.

Коэффициенты  ,   и   зависят от формы Земли, ее угловой скорости вращения, распределения масс. По многочисленным измерениям можно определить эти неизвестные коэффициенты. В настоящее время используется формула, в которой коэффициенты равны:  ,  ,   и g_э=978,013 Гал.

Составлены специальные таблицы, по которым легко определить величину   для любой точки земной поверхности. Измерив g_н в какой-то точке и вычтя   , получим аномалию силы тяжести.

Таким образом, геоид является поверхностью относимости, по отношению к которой рассчитываются аномалии.

Так как при определении силы тяжести масса притягиваемой точки принята равной единице, сила тяжести численно равна уско­рению g силы тяжести. Часто вместо полного ^ термина «ускорение силы тяжести» пользу­ются сокращенным — «сила тяжести».

Постоянную тяготения определяют экспе­риментально, для чего с помощью крутиль­ных весов измеряют силу взаимодействия двух тел с известными массами, размерами и расположением. Впервые численное значе­ние гравитационной постоянной получил английский физик Г. Кавендиш в 1798 г. В настоящее время международным со­глашением (1975 г.) принято значение f = (6,6720 +- 0,0041) х 10^(-11)м^2/кг^2, которое основано на многократных измере­ниях, предпринятых в разных странах . Гравитационная постоянная f известна с гораздо большей относительной по­грешностью, чем другие фундаментальные физические кон­станты. Это объясняется сложностью измерения силы тяготения. Для решения геодезических задач достигнутая точность вполне достаточна, поскольку в этих задачах обычно фигурирует произ­ведение fM, которое определяется значительно точнее — с отно­сительной погрешностью 10".

Для каждой точки единичной массы существует единственный вектор G силы тяжести. Совокупность этих векторов образует поле силы тяжести. Для вычисления силы тяжести в произвольной точке необходимо найти три ее составляющие по осям прямоуголь­ных координат. Поэтому для определения G выгодней исполь­зовать скалярную функцию — потенциал, которая полностью характеризует поле силы тяжести.

Потенциалом вектора называется такая функция координат, частные производные которой по прямоугольным координатам равны проекциям вектора на соответствующие координатные оси.

Дифференцирование потенциала W силы тяжести по какому-либо направлению дает составляющую силы тяжести в этом направле­нии. Поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одну и ту же величину,W = С, называется уровенной.

Производная от W по направлению нормали n к уровенной по­верхности является полной величиной силы тяжести

В каждой точке земной поверхности сила тяжести различна; она увеличивается от экватора к полюсам вследствие уменьшения расстояния до центра масс Земли (что вызывает увеличение со­ставляющейF) и вследствие уменьшения расстояния до оси вращения (что уменьшает центробежную силу Р) на это общее измене­ние накладываются вариации локального ха­рактера из-за сложности внутреннего строения и фигуры Земли.

Расстояние между уровенными поверхностями несколько неоди­наково, оно обратно пропорционально вели­чине силы тяжести.

Потенциал силы тяжести непосредственно не измеряется. Из наблюдений обычно находят только ускорение g, численно равное dW/dn, или производные второго порядка от потенциала.

35. Потенциал нормальной силы притяжения.

37. Нормальная сила тяжести – точная формула.

Значение нормальной силы тяжести на уровенном эллипсоиде (h=0) задается формулой Сомильяна:

Обе формулы Сомильяна, это точные формулы. Они позволяют вычислить , с любой точностью. В них входят 4 произвольных постоянных. Соответственно и можно рассматривать как фундаментальные постоянные.

38. Нормальная сила тяжести – приближенная формула.

здесь – нормальная сила тяжести на экваторе, а – гравиметрическое сжатие. Величина 1 связана со сжатием f и величиной m выражением

.

Точности формулы (1) составляет 1мкм* , что вполне достаточно для большинства практических целей.

Зависимость нормальной силы тяжести от высоты обычно описывают вертикальной производной, удерживая члены порядка f и принимая = :

.

39. Вертикальная производная (градиент) нормальной силы тяжести

Вектор нормальной силы тяжести определяется выражением

Значение нормальной силы тяжести на уровенном эллипсоиде (h=0) задается формулой Сомильянина:

Здесь и – соответственно нормальная сила тяжести на экваторе и полюсах.

Для описания локальных особенностей поля силы тяжести введем топоцентрические геодезические системы координат, связанные с нормалью к эллипсоиду и меридианом эллипсоида. Пренебрегая малой кривизной силовой линии нормального поля, получим

Где и т.д.; – единичный вектор внешней нормали к поверхности эллипсоида.

Тензор градиентов имеет вид:

grad = grad (gradU) =

Выражение для вертикальной составляющей градиента силы тяжести на поверхности эллипсоида:

+ ) + 2