Средние величины.
При расчете средней величины индивид. значения замен. одним средним значением. При этом случайные отклонения значения признака по отдельным единицам в сторону увеличения или уменьшения взаимно уравновешиваются и погашают друг друга, а в величине средней проявляется типичный размер признака, свойственный данной группе или совокупности в целом.
При расчете средней величины численность единиц совокупности должна быть достаточно большой.
Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же единицу измерения, что и признак у отдельных единиц совокупности.
В экономических исследованиях применяются две категории средних:
степенные средние;
структурные средние.
СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ
К категории степенных средних относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.
xi — величины, для которых исчисляется средняя.
— средняя. Такой способ обозначения
указывает на происхождение средней из
конкретных величин. Черта вверху
символизирует процесс осреднения
индивидуальных значений.
f — частота — повторяемость индивидуальных значений признака;
.
список мой от х итого до сумма ф без детализации причин средней, т.е. до «— средняя.»
Формулы средних величин могут быть получены на основе степенной средней, для которой определяющей функцией является уравнение
откуда
.
В
дальнейшем при написании формул средних
подстрочные значки i, n использоваться
не будут, но подразумевается, что
суммируются все произведения 
.
В зависимости от степени k получаются различные виды средних величин, их формулы представлены в таблице ниже.
Значение k |
Наименование средней |
Формула средней |
|
простая |
взвешенная |
||
-1 |
Гармоническая |
|
|
0 |
Геометрическая |
|
|
1 |
Арифметическая |
|
|
2 |
Квадратическая |
|
|
Пример.
По результат сдачи экзамена студентами группы 102ф (3, 4, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 4) определить средний балл по группе.
Решение.
Средняя арифметическая простая =
Средняя арифметическая взвешенная =
-
балл
3
4
5
f
Конец примера.
Рассмотренные средние величины обладают свойством мажорантности, т. е. чем выше степень «k» средней, тем больше величина самой средней.
Выбор средней обусловлен задачами исследования и наличием исходной информации.
Средняя арифметическая и средняя гармоническая — наиболее распространенные виды средних. Они применяются при плановых расчетах, при выявлении взаимосвязей между признаками.
Средняя квадратическая применяется при расчете среднего квадратического отклонения, являющегося одним из показателей вариации признаков.
Средняя геометрическая применяется при вычислении среднегодового темпа роста в рядах динамики.
СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ
К структурным средним относятся мода и медиана.
Мода — это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальных вариационных рядах сначала находят модальный интервал.
В найденном модальном интервале конкретное значение моды определяют по формуле:
где
xмо — нижняя граница модального интервала;
d — величина интервала;
f1, f2, f3 — частоты предмодального, модального и постмодального интервалов.
Мода широко применяется в коммерческой деятельности.
Медиана — значение признака, находящееся посредине рассматриваемого ряда. Она указывает центр распределения единиц совокупности и делит ее на две равные части.
При отыскании медианы сначала определяется ее порядковый номер в ряду распределения.
При нечетном числе единиц в ряду:
при четном числе единиц в ряду:
т. е. полусумма из двух соседних центральных значений.
В интервальном ранжированном ряду, зная порядковый номер медианы, по накопленным частотам отыскивается медианный интервал, в котором определяется конкретное значение медианы по формуле:
где
xме — нижняя граница медианного интервала;
d — величина интервала;
Sме-1 — частота, накопленная до медианного интервала;
fме — частота медианного интервала.
Медиана используется при контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях, при изучении распределения домохозяйств по величине дохода и т. д.
Мода и медиана имеют преимущества перед средними арифметическими для ряда распределения с открытыми интервалами.