Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов, обозначим их следующим образом  . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел   (действительных или комплексных):  . Отталкиваясь от определения операций над n-мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n-мерный вектор  , то есть,  .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов  .

Определение.

Если линейная комбинация   может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел   есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов   называется линейно зависимой.

Определение.

Если линейная комбинация   представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа   равны нулю, то система векторов   называется линейно независимой.

К началу страницы

32

Базис пространства  . Координаты вектора 

     Базис - любая упорядоченная система   из n линейно независимых векторов пространства  .

     Обозначение: 

     Для каждого вектора   существуют числа   такие что

     Числа   называются координатами вектора   в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора   в этом базисе. Употребляется запись: 

     Справедливы формулы:

33

путь системы векторов e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_n} — два базиса n-мерного линейного пространства L_n.

Обозначим x_e = (x₁,x₂, ..., x_n) и x_f = (x'₁,x'₂, ..., x'_n) — координаты вектора x ∈ L_n соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее x_e= C_e→f·x_f :

Здесь C_e→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f₁, ..., f_n  в базисе  e₁, ..., e_n:

f₁ = с₁₁· e₂ + с₂₁· e₁ + ... + с_n1· e_n, f₂ = с₁₂· e₁ + с₂₂· e₂ + ... + с_n2· e_n, ..., f_n = с_1n· e₂ + ... + с_nn· e_n.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

x_f= (C_e→f)^{− 1}·x_e

35.Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n  и пусть e₁,  e₂, ..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,...,a_n1), ... , A e_n = (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁,  e₂, ..., e_n .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно   каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁, ... , e_n}  к базису e' = {e'₁, ... , e'_n} . Связь между матрицей A_e  оператора A в базисе e  и матрицей A_e'  этого оператора в базисе e' задается формулой 

Здесь    -  матрица перехода от базиса e к базису  e' и обратная к ней.

36. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 

     Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   (  для комплексного  ), такое, что   Число   называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор   имеет координатный столбец X, то   или 

     Собственные числа   линейного оператора   - корни характеристического уравнения  , где   - матрица оператора f,   - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения   соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения   или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где   - соответствующие собственные значения.

37.Пусть A — линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве X, λ _i— собственное значение оператора A, а e_i — соответствующий собственный вектор: A(e_i ) = λ _ie_i, e_i ≠ 0, e_i ∈X.

Или пусть A — матрица оператора A, или произвольная квадратноя матрица, λ _i— собственное значение матрицы A, а e_i — соответствующийсобственный вектор: A·e_i = λ _ie_i,e_i ≠ 0, e_i ∈X.

Собственные значения λ _i являются корнями характеристического уравнения det(A −λE) = 0.

Многочлен P(λ) = − det(A − λE), из левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом матрицы A.

Характеристический многочлен P(λ) = − det(A − λE) — многочлен степени n относительно λ:

P(λ) = λⁿ − a_n-1λ^n-1+ a_n-2λ^n-2+ ...+ (−1)ⁿa₀.

38.Линейный оператор   называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид  .

Линейный оператор   с простым спектром диагонализируем.

. Пусть   — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве   над полем  . Для диагонализируемости   необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1. все корни характеристического многочлена   лежат в  ;

2. геометрическая кратность каждого собственного значения   совпадает с его алгебраической кратностью.

Пусть   — векторное пространство над полем действительных чисел   и   — линейный оператор на  , имеющий в некотором базисе матрицу  . Характеристический многочлен этого оператора равен:  . Уравнение  не имеет корней в действительных числах, поэтому оператор   не имеет собственных значений.

Пример 4. Пусть в предыдущем примере векторное пространство   рассматривается над полем комплексных чисел  . Тогда характеристическое уравнение оператора   имеет 2 корня  . Следовательно, оператор   имеет простой спектр и поэтому диагонализируем.

34. Докажем линейность оператора подобия ^K:X → X : x  X y = kx , где k — фиксированное действительное число (коэффициент подобия).

Решение.

x₁, x₂  X и α  R :

1. ^A(x₁ + x₂) = k(x₁ + x₂) = kx₁ + kx₂ = ^Ax₁ + ^Ax₂ ;

2. ^A(αx₁) = k(αx₁) = α(kx₁) = α^Ax₁

Условия линейности выполнены, следовательно, оператор ^K линеен.

Тождественный оператор ( k = 1 ) ^E: ^Ex = x и нулевой оператор ( k = 0 ) ^O: ^Ox = θ также линейны как частные случаи оператора подобия.

Пример 2. Докажем линейность оператора проецирования ^P множества геометрических векторов на плоскости V₂ на ось абсцисс.

Решение.

Пусть в базисе →i , →j задан произвольный вектор →a = {α₁, α₂} . Тогда его образ (проекция на ось абсцисс) есть вектор ^P→a = {α₁, 0} (см. рис. 1).

Для доказательства воспользуемся правилами операций над векторами в координатной форме.

Получаем

→a = {α₁, α₂}  V₂ , →b = {β₁, β₂}  V₂ и α  R :

1. ^P(→a + →b) = {α₁ + β₁, 0} = {α₁;0} + {β₁, 0} = ^P→a + ^P→b ;

2. ^P(α→a) = {αα₁, 0} = α{α₁, 0} = α^P→a .

Условия линейности выполнены, следовательно, оператор ^P линеен.