9.Экономико-математическая модель общей задачи линейного программирования.

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

и линейная функция

Необходимо найти такое решение системы X=(x₁, x₂,…, x_k,…, x_n), где x_k0 (kn), при котором линейная функция принимает оптимальное значение (max/min)

Система называется системой ограничений, а функция – линейной функцией, линейной формой, целевой функцией или функцией цели.

Краткая форма записи (Ф1)	Матричная форма записи (Ф2)	Векторная форма записи Ф(3)
при ограничениях:		F=CX →max(min) при ограничениях .	F=CX →max(min) при ограничениях где CX – скалярное произведение векторов ,

Оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение X=(x₁, x₂,…, x_k,…, x_n) системы ограничений и удовлетворяющее условию допустимости переменных, при котором линейная функция принимает оптимальное значение.

Любая задача ЛП может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче согласно следующей теореме:

Теорема: Всякому решению (x₁, x₂, … ,x_n) неравенства a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n<=b_i соответствует определенное решение (x₁, x₂, … ,x_n, x_n+i) уравнения a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n + x_n+i=b_i, в котором x_n+i >=0 и наоборот.

Без доказательства.

Решение систем линейных уравнений:

m=n (Определенная система), число линейно независимых уравнений совпадает с количеством неизвестных.

Способы решения:

Метод Крамера: Теорема. Если определитель ∆ матрицы коэффициентов при неизвестных системы ограничений отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, кот. можно найти по формуле , где ∆_j является определителем, полученным из определителя системы ∆ путем замены столбца j столбцом свободных членов.

Метод Жордана-Гаусса. Путем элементарных преобразований исключается некоторое неизвестное

m<n (Неопределенная система)

Способ решения:

Метод Жордана-Гаусса.

В задачах линейного программирования представляет интерес системы, в которых ранг r матрицы системы ограничений (максимальное число линейно независимых уравнений) меньше числа переменных.

Основные и неосновные переменные системы: Любые m переменные системы m линейных уравнений с n переменными называются основными (базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n-m переменных называются неосновными(свободными).

10. Свойства задач линейного программирования. Основные теоремы.

Теорема I. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Доказательство:

Пусть X₁=(x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, …, x_n⁽¹⁾) и X₂=(x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾, …, x_n⁽²⁾) – два допустимых решения задачи, заданной в матричной форме. Тогда АХ₁ = В и AX₂ = В. Рассмотрим выпуклую линейную комбинацию решений Х₁ и X₂, т.е.

и покажем, что она также является допустимым решением системы. В самом деле

. Но так как все входящие в это равенство параметры >=0, то и X>=0 т.е. решение удовлетворяет условии допустимости.

Ответ на вопрос, в какой точке многогранника решений возможно оптимальное решение задачи линейного программирования, дается в следующей фундаментальной теореме.

Теорема II. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если линейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Доказательство:

Будем полагать, что многогранник решений является ограниченным. Обозначим его угловые точки через X₁, X₂,…, X_p, а оптимальное решение — через X^* . Тогда F(X^*)>=F(X) для всех точек X многогранника решений. Предположим, что X^* не является угловой точкой, тогда на основании теоремы 5 X^* можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек многогранника решений, т.е.

Замечание: Многогранник решений ограничен!

1 часть. Так как F(X) — линейная функция, получаем

(1)

В этом разложении среди значений F(X_j) (j = 1, 2, ..., р) выберем максимальное. Пусть оно соответствует угловой точке Х_k (1 <=k<= р); обозначим его через M, т.е. F(X_k) = М. Подставим в (1).

Тогда, учитывая, что найдем

По предположению X^* – оптимальное решение, поэтому с одной стороны F(X^*)>=F(X_k) = M, но с другой стороны, доказано что F(X^*)<=M, следовательно F(X^*)=M= F(X_k), где X_k – угловая точка. Итак, существует угловая точка X_k, в которой линейная функция принимает максимальное значение.

2 часть. Допустим, что F(X) принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке X₁, X₂,…, X_q, где 1<=q<=p тогда F(X₁)= F(X₂)=…= F(X_q)=M. Пусть X – выпуклая линейная комбинация угловых точек, т.е.

Учитывая, что функция F(X) – линейная, получим

т.е. линейная функция F принимает максимальное значение в произвольной точке X, являющейся линейной комбинацией угловых точек.

Теорема III. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка многогранника решений, и наоборот, каждой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Доказательство: Пусть X= (x₁, x₂,…, x_m,0,0,…,0) допустимое базисное решение. Покажем, что она является угловой точкой многогранника решений. Предположим противное, т.е. что X не является угловой точкой. Тогда точку X можно представить внутренней точкой отрезка, соединяющего две различные, не совпадающие с X, точки

X₁=(x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾, …, x_m⁽¹⁾,0,0,…,0) и X₂=(x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾, …, x_m⁽²⁾ ,0,0,…,0)

или

(полагаем, что , ибо точка X совпадает с X₁ и X₂)

В координатной форме:

Поскольку , то из последних n-m равенств следует, что , т.е. в решениях Х₁, X₂ и X системы уравнений значения

п-т компонент равны в данном случае нулю. Эти компоненты можно считать значениями неосновных переменных. Но значения неосновных переменных однозначно определяют значения основных (если существует хотя бы одна группа основных переменных, то система неопределенная, причем каждому произвольному набору значений неосновных переменных соответствует одно решение системы), следовательно,

Таким образом, все n компонент в решениях Х₁, X₂ и X совпадают, и значит, точки Х₁ и X₂ сливаются, что противоречит допущению. Следовательно, X – угловая точка многогранника решений.

Следствие: если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допустимых базисных решений.

Итак, оптимум линейной функции задачи линейного программирования следует искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.