2. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения зависимости, в котором изменение одной величины (зависимой переменной; результативным признаком) у, обусловлено влиянием одной или нескольких независимых (факторных признаков; аргументов) переменных (х).

В зависимости от задач в статистике часто применяют метод парной регрессии – оценка связи между результативным и факторным признаками. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

линейной прямой Ŷ_х = a_o+a₁x;

гиперболы Ŷ_х = a_o+a₁(1/x);

параболы Ŷ_х = a_o+a₁x+a₂x² и др.

Определить тип уравнения можно графически – методом построения корреляционного поля, составления корреляционных таблиц, пересмотра и изучения различных аналогичных фактов, литературных источников и т.п., или же руководствоваться более общими указаниями: если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, это свидетельствует о наличии линейной связи, при обратной зависимости – гиперболическая. Если же результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используют параболу или степенную.

Очень важным этапом регрессионного анализа является интерпретация - перевод с языка статистики на язык экономики, - начинающаяся со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.

Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного фактора на результативный признак. При анализе необходимо обращать внимание на знаки перед коэффициентом. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он имеет отрицательное, то необходимо проверить расчёты параметров уравнения регрессии, что может быть вызвано допущенными при решении ошибками.

В дополнение, применив для удобства интерпретации параметра а₁ коэффициент эластичности (Э_х=а₁(х_ср/у_ср), можно отметить, что при увеличении на 1 % дозы внесения минеральных удобрений под подсолнечник, урожайность последнего возрастёт лишь на 0,4%.

4.3. Измерение тесноты взаимосвязи

Корреляционный анализ имеет своей задачей числовое определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

При парной линейной зависимости коэффициент корреляции рассчитывается по:

r_ух = ^ср∑xy -∑x_ср ∙∑y_ср / σ_x σ_y

или r_ух = ^ср∑xy -∑x_ср ∙∑y_ср / √(х²_ср-х_ср²)-(у²_ср-у_ср²).

Шкала оценки r находится в границах от 0 до 1; если r=0 – связь отсутствует; если r=1 – cвязь функциональная; чем r ближе к 1, тем взаимосвязь между признаками сильнее. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента можно представить следующим образом: если r находится в пределах от 0,1 до 0,3 – связь заметная; от 0,3 до 0,5 – умеренная; 0,5-0,7 – достаточная и 0,7-1,0 – высокая или тесная. Знак при r указывает направление связи: если «+», то – прямая, при «-» – обратная.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют универсальный показатель, так называемое корреляционное отношение (коэффициент корреляции по Пирсону), применимое ко всем случаям корреляционной связи, независимо от её формы. Различают эмпирическое и теоретическое отношение.

Эмпирическое – рассчитывается по аналитической группировке (или корреляционной таблице) на основе правила сложения дисперсии, как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии результативного признака (δ_у²) к общей дисперсии (σ_у²) этого же признака:

η_эмп. = √ σ_у²-σ²/σ_у² = √ 1 – σ²/σ_у² = = √δ_у²/σ ,

где η_эмп. – корреляционное отношение; σ_у² - средняя из групповых дисперсий.

Характеризует вариацию результативного признака за счёт всех факторов, включая и фактор х, т.е. измеряет общую вариацию величины у.

Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных (теоретических) значений результативного признака (Ŷ_t) по уравнению регрессии и далее по формуле: η_теор. = √ δ_ŷ² / σ_ŷ² = √ 1 – σ²_ост. / σ_ŷ²

где δ_ŷ² - дисперсия выравненных значений результативного признака, рассчитанных по уравнению регрессии; σ_ŷ² - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Характеризует вариацию результативного признака за счёт вариации только фактора х (при прочих равных условиях).

Обозначив дисперсию эмпирического ряда через σ_у² (D_y), а теоретические – через δ_ŷ² (D_ŷ), то каждую можно выразить формулами: D_y = σ_у² = ∑(у_i-у_ср.)²/n,

а D_ŷ = δ_ŷ² = ∑(ŷ_х-у_ср.)²/n.

Сравнивая вторую дисперсию с первой, получим теоретический коэффициент детерминации: η_т²=D_ŷ/D_y = δ_ŷ²/σ_у² или η_т²=∑(ŷ_х-у_ср.)² / ∑(у_i-у_ср.)².

Показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора х на вариацию у.

Извлечением корня квадратного из коэффициента детерминации, получают теоретическое корреляционное отношение: η_т=√D_ŷ/D_y = δ_ŷ²/σ_у²

или η_т=√(∑(ŷ_х-у_ср.)² / ∑(у_i-у_ср.)²).

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0≤η≤1). При η = 0 - группировояный признак не оказывает влияние на результативный, если η = 1, - то результативный изменяется только под влиянием группировочного, влияние же прочих = 0. Промежуточные величины оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям: чем ближе к 1, тем взаимосвязь сильнее. Анализ степени тесноты связи в итоге должен полностью соответствовать линейному коэффициенту корреляции.