5.3.Линейные (систематические) коды.

5.3.1.Механизмы кодирования и синдромного декодирования.

В линейных (систематических) кодах информационные символы при кодировании не изменяются, а проверочные символы получаются в результате суммирования по модулю 2 определенного числа информационных символов. Запишем разрешенную кодовую комбинацию систематического кода (n,k)

,

где – множество информационных символов;

– множество проверочных символов.

Тогда , ,

где , j= – весовые коэффициенты принимающие значения 0 или 1 в зависимости от того, участвует или нет данный информационный символ в формировании проверочного символа .

Обнаружение и исправление ошибок систематическим кодом сводится к определению и последующему анализу синдрома или вектора ошибок.

В медицине термин синдром используют для обозначения сочетания признаков, характеризующих определенное болезненное состояние организма.

Под синдромом понимают совокупность символов сформированную, путем сложения по модулю 2 принятых проверочных символов и вычисленных проверочных символов

Вычисленные символы получаются из принятых информационных символов по тому же правилу, которое используется для формирования проверочных символов.

Если при приеме информационных и проверочных символов не произошло ошибок, то принятые и вычисленные проверочные символы будут равны. В этом случае все разряды синдрома будут равны нулю. Таким образом, нулевой синдром соответствует случаю отсутствия ошибок.

Если же в принятой комбинации есть ошибки, то в разрядах синдрома появятся единицы. Это и есть способ обнаружения ошибок систематическим кодом, который лежит в основе синдромного декодирования.

Если код имеет минимальное кодовое расстояние , то он способен исправлять ошибки. Это означает, что по виду синдрома можно определить номер ошибочной позиции принятой кодовой комбинации.

Процедура построения систематического кода, способного обнаруживать ошибки, сводится к выбору весовых коэффициентов таким образом, чтобы синдром, рассматриваемый как двоичное число, указывал номер ошибочной позиции.

Пример: Пусть требуется построить систематический код длиной n=7, способный исправлять одиночные ошибки. Тогда из =2t+1 находим, что может быть, =3. Пользуясь условием для границы Хемминга, находим минимальное число проверочных символов:

При t=1, n=7;

Тогда число информационных символов k=n-r=4.

Следовательно, необходимо построить код (7,4), кодовые комбинации которого имеют вид:

, атрии проверочных символа находятся путем суммирования информационных символов по правилу:

,

,

.

Найдем эти весовые коэффициенты . Для этого запишем все возможные трехразрядные кодовые комбинации синдрома:

000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111

И присвоим их ошибочным символам кодовой комбинации.

Когда в принятой комбинации нет ошибок, синдром будет состоять из трех путей:

Появление одной единицы в синдроме связано с ошибками в проверочной части кодовой комбинации.

100 → ошибка в ,

010→ ошибка в ,

001→ ошибка в .

А появление большего числа единиц в синдроме связано с ошибками в информационной части.

Присвоим информационным символам с ошибками оставшиеся синдромы в порядке возрастания их двоичных чисел (по существу безразлично, какие двоичные числа можно присваивать информационным символам):

011→ ошибка в ,

101→ ошибка в ,

110→ ошибка в ,

111→ ошибка в .

Итак, каждому символу кодовой комбинации соответствует двоичное число, представляющее синдром:

Синдром		Символ кодовой комбинации с ошибкой
000		нет ошибок
001		b3
010		b2
011		a1
100		b1
101		a2
110		a3
111	a4

Осталось определить весовые коэффициенты . Для этого необходимо подобрать их так, чтобы при возникновении ошибки в - символе появлялся бы соответствующий этой ошибке синдром.

Например, для появления синдрома 011, соответствующего ошибке в

Весовые коэффициенты при символе a1 должны иметь значения =0, = 1, =1.

Аналогично, появление остальных синдромов обеспечивают коэффициенты:

101 (ошибка в → =1, =0, =1,

110 (ошибка в ) → =1, =1, =0,

)→ =1, =1, =1.

Окончательное правило формирования проверочных символов принимает вид:

,

,

.

Формирование систематического кода (7,4) по такому правилу поясняется следующим рисунком: