11. Волновое уравнение.

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

,

где выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

Волновое уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды Волновое уравнение имеет вид:   где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. Волновое уравнение является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то Волновое уравнение упрощается и называется двумерным (одномерным). Волновое уравнение допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:   u = f (t - r/a)/r, где f — произвольная функция, a     Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):   u = δ (t - r/a)/r (где δ — дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения. Малые колебания струны описываются одномерным Волновое уравнение:   Ж. Д"Аламбер предложил (1747) метод решения этого Волновое уравнение в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (x - at) + g (x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий.

Волновое уравнение

Волновые процессы представляют собой весьма общий класс явлений . Образование волны обусловливается наличием связей между отдельными частями системы , в силу которых понятие изолированного процесса является , конечно, далеко идущей абстракцией. Сравнительно редки случаи ,когда процесс , протекающий в какой либо части пространства, можно рассматривать как изолированный. Обычно он вызывает соответствующие изменения в соседних точках системы , передавая им некоторое количество энергии . От этих точек возмущение переходит к смежным с ними и т.д., распространяясь от точки к точке , т.е. создавая волну . В зависимости от природы связей , которые обусловливают указанное взаимодействие , мы имеем волну той или иной природы. Упругие силы ,действующие между элементами любого твердого , жидкого или газообразного тела, приводят к возникновению упругих (акустических) волн в телах. Возмущение горизонтальной поверхности воды становится источником поверхностных волн вследствие связей между соседними участками воды, обусловленных силой тяжести и подвижностью частиц жидкости . небольшая деформация поверхности жидкости может дать начало капиллярным волнам, вызванным действием молекулярных сил , обусловливающих явления в поверхностном слое . Электромагнитное возмущение, возникшее в каком либо месте пространства, в силу электромагнитных связей , выражающихся в законах электромагнетизма и электромагнитной индукции , становится источником таких же возмущений в соседних участках пространства , от которых оно передается все далее и далее: возникает электромагнитная волна, которая (по Максвеллу) должна распространятся со скоростью света.

Несмотря на бесконечное множество физических процессов , вызывающих волны , образование волн проходит по одному общему типу. Возмущение , происшедшее в какой-нибудь точке в известный момент времени, проявляется спустя некоторое время на некотором расстоянии от начальной точки , т.е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим для простоты распространение возмущений  по какому-либо одному направлению x; мы можем изобразить возмущение s как функцию координаты  x и времени t: s=f(x,t). Легко видеть, распространение возмущений со скоростью v вдоль направления x изобразится  той же функцией , а аргумент которой t и x входят в виде комбинации (vt-x) или (t-x/v). Действительно, это строение аргумента показывает, что значение функции , которое она имеет в точке x в момент времени t, повторяется в нес5колько б т.е. эта скорость равна более отдаленной точке x+dx в более поздний момент времени t+dt, если только

vt-x=v(t+dt)-(x+dx)     (2.2.1)

Т.о. возмущение за время dt переместится на расстояние dx , распространившись со скоростью dx/dt. Из соотношения (2.2.1) следует ,что dx/dt=v, т.е. эта скорость равна v.

Итак, любая функция от аргумента vt-x выражает распространение возмущения вдоль x в  сторону возрастающих значений x с постоянной скоростью v. Аналогично любая функция от аргумента vt+x описывает распространение импульса со скоростью v, но в противоположную сторону. Вид функции f позволяет определить форму возмущения для любого момента t и зависит от условий , вызвавших его возникновение .

Нетрудно показать, что дифференциальное уравнение , описывающее волновое движение ,т.е. уравнение , решение которого будет любая функция от аргумента (vt-x)или (vt+x), будет иметь вид

(2.2.2)

Действительно простой подстановкой легко убедиться , что возмущение s, определяется соотношением

(2.2.3)

где  произвольные функции , является решением (2.2.2) Так как это уравнение есть дифференциальное уравнение второго порядка, то найденное решение как содержащее две произвольные функции , является общим его решением . Это решение представляет совокупность двух волн , распространяющихся со скоростью v навстречу друг другу . Само собой разумеется , что из самого дифференциального уравнения никогда нельзя сделать заключения о специальной форме функции . Поэтому дифференциальное уравнение типа (2.2.2) математически описывает всевозможные процессы распространения волн (вдоль оси x) . Рассмотрим в качестве примера образование и распространение электромагнитной волны .

Как известно , возникновение в каком- либо месте среды переменного электрического тока сопровождается появлением  в окружающем пространстве переменного магнитного поля(электромагнетизм) ; это последнее ведет к образованию переменного электрического поля (электромагнитной индукция), обусловливающего переменные токи смещения в окружающем пространстве. Токи смещения обусловливают возникновение магнитного поля , так же как обычные токи проводимости в проводнике создают вокруг себя магнитное поле .Т.о., все новые и новые области пространства становятся областью действия электромагнитных полей: возникшее где либо электрическое колебание не остается локализованным , а постепенно захватывает все новые и новые участки пространства, распространясь в виде электромагнитной волны.