4. Физический маятник.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения

— угол отклонения маятника от равновесия;

— начальный угол отклонения маятника;

— масса маятника;

— расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;

— радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

— ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Приведённая длина

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.

Период малых колебаний физического маятника.

Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

.

5. Энергия колебаний.

При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

        Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

        Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

Сравнивая формулы:

для кинетической и потенциальной энергии механического маятника, можно сделать следующие выводы:

1. Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях: 2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника. 3. Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на p (на полпериода). Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная - минимума (нуля) и наоборот. Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

Механическая энергия незатухающих колебаний. Рассмотрим груз на пружине, совершающий гармонические колебания. 

Система, совершающая гармонические колебания называется гармоническим осциллятором. 

Так как F_тр = 0, то система "груз + пружина" является замкнутой и консервативной, то ее полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, не изменяется:

E = Е_к + Е_п = const.

Подсчитаем полную механическую энергию Е гармонического осциллятора, совершающего колебания по закону x = A·sin(w₀·t + f₀). При выводе учтем, что k = w₀²· m.

Е_к = m·u²/2 = m·A²·w₀²/2·cos²(w₀·t + f₀); Е_п = k·x²/2 = m·A²·w₀²/2·sin²(w₀·t + f₀).

Следовательно,

E = m·A²·w₀².     (9.12)

Энергия гармонического незатухающего осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды и собственной частоты и пропорциональна его массе.