23. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация, корреляция. Ассиметрия и эксцесс.

• Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: .

• Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число,

г де

.

• К оэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число .

Свойства корреляции.

1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

2. Д ля того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Пусть Х и Y—независимы, тогда по свойству математического ожидания Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.

• Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0.

Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

• К оэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число

Знак коэффициента асимметрии указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

• Эксцессом случайной величины Х называется число .

Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.

24.Задачи мат.статистики

1)указать сп-бы сбора и группировки стат-х сведений, полученных в рез-те наблюдений или экспериментов.

2)разработать методы анализа стат-х данных в зав-сти от информации.

Пусть необходимо изучить сов-сть однородных объектов относительно некоторого кач-го или колич-го признака, характер-щего объект. Выборка -сов-ть случайно отобранных объектов. Генеральная сов-ть – сов-ть объектов, из которых производится выборка. Объем сов-сти – число объектов сов-сти.

Выборка должна быть репрезентативной.

Пусть можно произвести измерение случ-й величины Х. В п экспериментах результаты измерений х1,х2…хп – некоторые числа. Пусть вып-ся предпосылки:

1.Эксперименты проводят в одинаковых условиях.

2.Эксперименты проводят независимо др.отдруга.

Опр: говорят, что рез-ты п экспериментов х1…хп образуют конкретную выборку объема п из генеральной сов-сти случ-й величины Х, если вып-ся предпосылки 1 и 2.

Величину Х наз-т теоретической случайной.

Пусть треб-ся произвести измерения п случайных величин х1,..хп. Если производить изм-ния сериями, то рез-ты: Х1(1)….Хп(1)-1 серия; Х1(2)…Хп(2)- 2 серия; Х1(к)…Хп(к)-к серия.

Тогда случайные величины Х1…Хп – абстрактные рез-ты измерений, т.е. полученные до того, как их провели.

Из 1й предпосылки – случайные величины Х1…Хп одинаково распределены и имеют закон распределения, совпадающий с законом распр-я теоретической случ. величины. Из 2й предп – случайные величины независимы.

Опр: говорят, что независимые случ.величины х1,..хп образуют абстрактную выборку объема п , если они незав. и одинаково распределены.

Опр: функция распр-я F(x) случ-й величины наз. теоретической функцией распределения.