11 Теорема Пуассона

Т еорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых исп-х стремится к величине , то есть .

Д оказательство: По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях , где q=1-p. Отсюда По условию . Получим

Перейдем к пределу при , т.е.

—формула Пуассона.

Теоремой удобно пользоваться, когда р→0, . Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных а и k.

Формулой Бернулли удобно пользоваться, когда значение n не очень велико. Если же n достаточно велико, то удобн пользоваться приближенными формулами.

12. Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).

Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях.

, где ; ,

q=1-p.

Без доказательства. Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х).

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).

Е сли вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0<p<1, то вероятность того, что событие А появится от k₁ до k₂ раз в n независимых испытаниях определяется выражением: , где

—функция Лапласа,.

Без доказательства. Функция Лапласа—нечетная, т.е. . Значения находят по таблице.

13. Случайные величины.

Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.

Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.