23. Дивергенция поля. Ротор поля. Формула Стокса.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке , обозначаемой символом , называется величина, равная сумме частных производных, вычисленных в точке т.е.

.

Отметим некоторые свойства дивергенции:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Сравнивая формулы (4.8) и (4.9) видим, что формулу Остроградского – Гаусса можно записать иначе:

.Формула означает:

поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью.

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, который обозначается и определяется формулой

. (4.13)

Формулу (4.13) можно записать с помощью символического определителя, который удобный для запоминания:

Отметим некоторые свойства ротора:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. ротор суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Формула Стокса

Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности  , край которой образуется кусочно-гладкой кривой  . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали       обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля      вдоль контура границы имеет место формула Стокса:  , где    - компоненты векторного поля,    - направляющие косинусы вектора нормали.

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

24. Циркуляция поля. Физический смысл циркуляции поля. Формула Стокса.

Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора

на вектор , касательной к контуру, т.е. .

Циркуляцию вектора можно находить по другой формуле

.

Циркуляция , имеет простой физический смысл: если кривая расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль .Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный – в противном случае.

Формула Стокса

Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности  , край которой образуется кусочно-гладкой кривой  . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали       обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля      вдоль контура границы имеет место формула Стокса:  , где    - компоненты векторного поля,    - направляющие косинусы вектора нормали.

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.