21. Векторное поле. Векторные (силовые) линии. Векторная трубка.

Если каждой точке области соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле или векторная функция точки.Вектор , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов , т.е. .Вектор можно представить, разложив его по ортам координатных осей, в виде:

,

где  проекции вектора на оси координат, а также скалярные функции, которые непрерывны со своими частными производными. Простейшими геометрическими характеристиками векторного поля являются векторные линии.

Векторной (силовой) линией поля называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора .Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинается с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

описываются системой дифференциальных уравнений

.

22. Поток векторного поля через поверхность. Формула вычисления потока векторного поля. Источник и сток. Формула Остроградского – Гаусса для вычисления потока.

Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т.е.

.

Таким образом, вычисление потока вектора сводится к вычислению интеграла по поверхности. Из самого определения следует, что поток вектора П  величина скалярная. Если изменить направление нормали на противоположный, т.е. переменить сторону поверхности , то поток П изменит знак.

Так как , то

,где  проекция вектора на направление нормали ,  дифференциал (элемент) площадки поверхности.

Поскольку , , то поток (4.5) вектора можно записать в виде

,

или в виде

.

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем . Тогда поток вектора записывается в виде . В этом случае за направление вектора обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности .

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке , обозначаемой символом , называется величина, равная сумме частных производных, вычисленных в точке т.е.

.

Отметим некоторые свойства дивергенции:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Сравнивая формулы (4.8) и (4.9) видим, что формулу Остроградского – Гаусса можно записать иначе:

.Формула означает:

поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью.

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.