15. Вычисление кри-II: явное представление кривой, параметрическое представ-ление кривой. Некоторые приложения кри-II.

Вычисление КРИ-II, как и КРИ-I, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Явное представление кривой

Если кривая лежит в плоскости и задана уравнением , производная непрерывна на , , то

.

Параметрическое представление кривой

Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями , , где  непрерывно дифференцируемые функции, и  соответственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления КРИ-II:

Если кривая лежит в плоскости , , то формула упрощается

Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле

,

при этом кривая , делает обход против часовой стрелки.

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле

16. Формула Остроградского – Грина

Если функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области , лежащей в плоскости и ограниченной кусочно-гладкой кривой , то

, (2.10)

где интегрирование по контуру выполняется в положительном направлении.

Формулу (2.10) называется формулой Остроградского – Грина.

17. Поверхностный интеграл I рода. Основные свойства поверхностного интеграла I рода. Вычисление поверхностного интеграла I рода.

Если при и интегральная сумма имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению,

. (3.1)

Основные свойства поверхностного интеграла I рода

1. , где .

2. .

3. Если поверхность разбить на части и такие, что , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то

.

4. Если на поверхности функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

5. Если , то , где  площадь поверхности .

6. (Теорема о среднем) Если функция непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует такая точка , что

.

3.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области  проекции поверхности на плоскости .

Если поверхность задана уравнением , то поверхностный интеграл I рода вычисляется по следующей формуле:

, (3.2)

где  проекция поверхности на координатную плоскость .

Если поверхность задана уравнениями вида или , то получаем следующие формулы

и

,

где и  проекции поверхности на координатную плоскость и соответственно.

18. Поверхностный интеграл II рода. Свойства поверхностного интеграла II рода.

Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , , называется поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению

Свойства поверхностного интеграла II рода

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак поверхностного интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если , и  цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям , то