34. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при ( ), то из формулы Тейлора получается разложение функции по степени , называемое рядом Тейлора:

.

(3.9)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

.

Для разложения функции в ряд Маклорена (3.10) нужно:

1. найти производные ;

2. вычислить значения производных в точке ;

3. выписать ряд (3.10) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4. найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

35. Некоторые приложения степенных рядов.

1. Вычисление значений функции

Пусть дан степенной ряд функции . Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно устанавливать путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена формул Тейлора или Маклорена.

2. Вычисление интегралов

Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

3. Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

36. Тригонометрический ряд. Формулы коэффициентов ряда Фурье.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (4.3)

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

Ряд вида:

называется рядом Фурье функции .

Коэффициентами Фурье функции называются числа и определяемые формулами

, , где .

37. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье -периодических функций: формулы коэффициентов.

Теорема 4.1 (теорема Дирихле). Пусть периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2. кусочно-монотонна, т.е. монотонная на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией , т.е. ;

2. в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева, т.е.

;

3. в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна

.