30. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле.

Теорема 1.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1. при ряд сходится;

2. при ряд расходится.

При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Теорема 1.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :

,

и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.

Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд

, (1.10)

где  действительное число, ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

31. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (2.1)

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И.Бернулли.

Теорема 2.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (2.1) сходится, если

1. последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е.

;

2. общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

При этом сумма ряда (2.1) удовлетворяет неравенствам .

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

32. Функциональный ряд. Точка сходимости. Область сходимости функционального ряда. -ая частична сумма и -ый остаток функционального ряда.

Пусть функции определены в области . Тогда выражение вида

(3.1)

называется функциональным рядом.

Придавая определенные значения , получаем числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 3.2. Если числовой ряд сходится при , то ряд называется сходящимся в точке , а сама точка называется точкой сходимости ряда. Множество значений , при которых ряд (7.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Область сходимости функционального ряда обозначим . Как правило, область не совпадает с областью , а является ее подмножеством, т.е. .

33. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (3.2)

где  постоянные числа, называемые коэффициентами ряда,  фиксированное число.

При получаем степенной ряд вида

. (3.3)

Ряд (3.2) легко приводится к ряду (3.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (3.3).

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (3.2) сходится в точке ).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 3.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству

.

Пусть . Интервал или называют интервалом сходимости. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Таким образом,  это такое число, что при всех , для которых , ряд (3.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рисунок).