27. Числовой ряд. N-ая частичная сумма ряда. Сходимость и расходимость ряда. Некоторые свойства рядов. -ый остаток ряда.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

, (1.1)

где  члены ряда (действительные или комплексные числа), число  общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера можно записать соответствующий член ряда: , т.е. при помощи формулы -го члена.

Если формула дана, то можно сразу написать любой член ряда. Например, если , то ряд имеет вид: . Если ( ), то ряд имеет вид: .

Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда. Например, пусть , а рекуррентная формула такова: . Последовательно находим ; и т.д. Таким образом, получаем ряд: .

Определение 1.2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда:

.

Рассмотрим частичные суммы

,

,

………………….

Если существует конечный предел , то этот предел называют суммой ряда (1.1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует или , то ряд (1.1) расходится и суммы не имеет. Например, ряд сходится и его сумма равна 0; ряд расходится, так как при ; ряд расходится, так как последовательность частичных сумм не имеет предела.

28. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточ-ный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.

Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема 1.1. (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Доказательство. Пусть ряд (1.1) сходится и . Тогда (при и ). Учитывая, что при , получаем:

.

Теорема 1.2. (достаточный признак расходимости ряда) Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Теорему 1.2. примем без доказательства.

Теорема 1.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Например, гармонический ряд

(1.7)

общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.

29. Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера.

Сходимость или расходимость числовых рядов с положительными членами часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы, которые примем без доказательства.

Теорема 1.3. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1.8)

и

(1.9)

Если для всех выполняется неравенство , то

1. из сходимости ряда (1.9) следует сходимость ряда (1.8);

2. из расходимости ряда (1.8) следует расходимость ряда (1.9).

Надо отметить, что теорема 1.3 справедлива и в том случае, когда неравенство выполняется не для всех членов рядов (1.8) и (1.9), а начиная с некоторого номера . Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

Теорема 1.4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда (1.8) и (1.9) с положительными членами. Если существует конечный, отличный от нуля, предел

где , то ряды (1.8) и (1.9) сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.

Теорема 1.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1. при ряд сходится;

2. при ряд расходится.

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида или .