25. Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем и векторным полем являются: градиент, дивергенция, ротор. Эти действия называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только производные первого порядка).

Векторные операции – нахождение градиента, дивергенции, ротора, удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом (читается «набла») и называется оператором Гамильтона:

.

Он приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины , , , понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора Гамильтона:

1. .

2. .

3. .

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действии с ними надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применит этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Можно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: , , , , . Понятно, что, например, операция не имеет смысла, так как  есть скаляр.

Дифференциальный оператор

также называется оператором Гамильтона.

Запишем основные дифференциальные операции второго порядка, используя оператор Гамильтона:

1. .

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение

,

которое называется дифференциальным уравнением Лапласа. Это уравнение играет важную роль в различных разделах математической физике. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторных полей равно нулевому вектору. Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

3. .

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковых, равно нулю.

5. .

26. Классификация векторных полей: определения соленоидального, потенциального и гармонического векторного поля.

Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым в области , если в каждой точке этой области .

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля:

1. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Соленоидальное поле не имеет источников и стоков.

2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т.е. если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .

Так как , то поле ротора любого векторного поля является соленоидальным.

3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение, называемое интенсивностью трубки.

Потенциальное векторное поле

Векторное поле называется потенциальным или безвихревым, или градиентным в односвязной области , если в каждой точке этой области

.

Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда и другие.

Приведем некоторые свойства потенциального поля:

1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю. В поле скоростей текущей жидкости равенство означает, что в потоке нет замкнутых струек, т.е. нет водоворотов.

2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой с началом в точке и концом в точке зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой.

3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , т.е. если , то существует функция такая, что .

Из равенства следует обратное утверждение: поле градиента скалярной функции является потенциальным.

Для того чтобы поле было потенциальным в области , необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция , такая, что , которая называется потенциальной функцией (потенциалом) поля .

Потенциал векторного поля можно найти по следующей формуле:

,где  некоторая фиксированная точка области ,  любая точка области ,  произвольная постоянная.

Гармоническое векторное поле

Векторное поле называется гармоническим или лапласовым, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. если

и .

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.Потенциал гармонического поля является решением уравнения Лапласа .

Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.