1. Двойной интеграл. Схема получения двойного интеграла.

Схема получения двойного интеграла

1) Разбиваем область на «элементарных областей» .

2) Площадь области обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .

3) Возьмем произвольную точку .

4) Находим , что равно объему тела (призма), площадь основания которого , а высота равна .

5) Составляем интегральную сумму

.

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что . Если предел существует и не зависит от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области .

.

Таким образом, двойным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

. (1.1)

 интегрируемая функция в области ;

 область интегрирования;

и  переменные интегрирования;

или  элемент площади.

2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от неотрицательной функции ( ) численно равен объему тела, которое сверху ограничено поверхностью , снизу – замкнутой областью плоскости , с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница , т.е.

.

Физический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от функции численно равен массе плоской пластины, если подынтегральная функция считать плотностью этой пластины в точке , т.е.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

2. .

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где  линия, разделяющая и (см. рисунок), то

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

6. Если , , то , где  площадь области интегрирования .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где и  соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

.

Величину называют средним значением функции в области .

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление двойного интеграла

в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что , где  площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и  уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:

.

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,

.

Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула

(1.2)

Правую часть (1.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и ( ), кривыми и , причем для всех , т.е. область  правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем