Глава I Структурно-операторное описание цифровой системы управления

I.1. Математическое описание цифровых сау

В системах управления, содержащих ЭВМ или микропроцессорный регулятор, сигналы квантуются по времени и по уровню. На рис.1.1 представлена одноконтурная система с управляющей ЭВМ. Съём сигналов с датчиков (Д) (опрос датчиков) осуществляется, как правило, с постоянным периодом Т. На схеме квантователь сигналов по времени изображен в виде ключа.

Рис. 1.1. Функциональная схема одноконтурной системы

с управляющей ЭВМ

Если время съёма информации мало, то сигнал с выхода ключа представляет собой значение сигнала x(t) в дискретные моменты времени kT, где k=0,1,2,…( рис.1.2 а, б).

Рис. 1.2. Реальные и идеальные импульсные функции:

а) непрерывная функция х(t); б) импульсная (решетчатая) функция x[kT]

Дискретный сигнал x[kT] в аналого-цифровом преобразователе А/Ц квантуется как по времени, так и по уровню. Управляющие ЭВМ обычно восьми- или шестнадцатиразрядные. В шестнадцатиразрядной сетке последний разряд составляет 0,007% от уровня сигнала. Величина эта ниже величины шумов, поэтому дискретностью по уровню можно пренебречь.

После обработки информации сигналы с ЭВМ снимаются также с периодом Т и с задержкой на время выполнения алгоритма управления Т_A. Затем эти сигналы поступают на цифроаналоговый преобразователь Ц/А, с выхода которого снимаются импульсы конечной длительности Т_И (рис.1.3, а). Для простоты изложения сигналы на рис 1.2 и 1.3 совпадают по величине, т.е. передаточные функции алгоритма ЭВМ и Ц/А приняты равными единице. Поэтому сигналу u^*(t) (рис.1.1) соответствует сигнал x^*(t) . Как правило, длительность Т_И равна периоду квантования, т.е. Т_И=Т.

Рис. 1.3. Последовательность идеальных -импульсов

Таким образом, если не учитывать квантования по уровню, управляющая ЭВМ обрабатывает и выдает импульсные сигналы. Поэтому при описании управляющего алгоритма теряется смысл производной и интеграла, так как минимальное приращение временного интервала t=T. В этом случае производная по времени

заменяется дискретной функцией

(1.1)

называемой первой разностью. Величина Т=const, поэтому выражение (1.1) часто представляют в относительном времени, т.е. аргументом является число прошедших тактов квантования

.

Аналогично определяются вторая и более высокие разности. Операция интегрирования для импульсных функций заменяется суммированием, а дифференциальные уравнения – разностными. Например, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

представляется как разностное уравнение первого порядка

,

где .

Динамическое звено n-го порядка реализуется алгоритмом работы ЭВМ как разностное уравнение того же порядка. Его удобно представлять, используя оператор сдвига 

(1.2)

где

.

Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Такое представление может быть осуществлено с помощью преобразования вида (1.1), но это может привести к значительным погрешностям. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента или сигнала. Идеальный импульсный элемент (сигнал) преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный по времени сигнал , представляющий последовательность идеальных импульсов, площадь которых в моменты времени равна значению функции (сигнала) x(t) в эти моменты времени (рис.1.3, б). Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением

(1.3)

где - идеальный импульс, равный нулю при t - kT > 0 и t - kT < 0, площадью, равной единице при t - kT = 0, то есть в момент времени t = kT (дельта – функция). Очевидно, что амплитуда такого сигнала равна бесконечности. Поэтому импульсы на рис.1.3, б изображены в виде стрелок.

Так как дискретная функция x[kT] относительно аргумента t является постоянной величиной и равна 0 между моментами kT,

можно записать

. (1.4)

Преобразование (1.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа. Для упрощения записи обозначим через z. В резильтате получим следующее выражение

Выражение (1.5) называется Z-преобразованием. Этот бесконечный ряд сходится, если .

Для перехода от непрерывной передаточной функции объекта к дискретной передаточной функции, связывающей дискретные входные и выходные сигналы после ключей (квантователей по времени), примем, что эти квантователи (ключи) работают синхронно. Импульсы, поступающие на вход объекта, согласно (1.3) описываются следующим образом:

(1.6)

Реакция на единичный импульс последовательности (1.6) определятся весовой функцией объекта . Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта-функцию.

,

где h(t) - реакция этого же звена (объекта) на единичное воздействие 1(t).

Следовательно, сигнал с выхода объекта определяется зависимостью

(1.7)

Учитывая, что сигнал y(t) после квантователя передается в ЭВМ в дискретные моменты nT (номер такта n не равен номеру k) ,

из (1.7) получим

Переходя к переменной z, получим Z-преобразованную передаточную функцию.

(1.10)

Рассмотрим в качестве примера объект первого порядка

(1.11)

где .

Весовая функция объекта

.

Подвергнем z-преобразованию это выражение:

.

Этот ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом . Следовательно, сумма этого ряда будет определяться следующим образом

,

где .

Преобразование (1.11) для элементарных функций [kT] и x[kT] приводится в таблицах (см., например, табл. 1).

Таблица 1

x(t)	x(p)	x[kT]	x(z)
(t)	1	[kT]	1
1(t)		1[kT]
t2		ak2T2
K0e-T		K0e-kT
sin1t		sin1kT

Если требуется выразить x(z) относительно переменой z в отрицательной степени, переход от табличных выражений, очевидно, элементарно прост. Нужно числитель и знаменатель умножить на z^-n , где n – максимальное значение положительного показателя степени при z.

Если передаточная функция W(p) имеет сложный (не табличный) вид, ее необходимо представить в виде элементарных слагаемых, определяемых одним из известных методов. Для каждого слагаемого по таблице находится

Z-преобразованная функция, и исходя из свойства линейности z-преобразования

(1.13)

результирующая дискретная передаточная функция W(z) определяется суммированием элементарных слагаемых.

Другим важным свойством Z-преобразования является изображение сдвига по времени на n-тактов влево

(1.14)

и сдвига на n-тактов вправо (упреждение) при нулевых начальных условиях

(1.15)

Начальные и конечные значения дискретных функций определяются выражениями

(1.16)

Операция D-преобразования значительно упрощается, если воспользоваться приближенной заменой переменных

(1.17)

Правомерность такой замены вытекает из разложения в ряд функции z=e^Tp

.

Преобразования (1.9) и (1.10) справедливы для случая, когда на вход объекта подается последовательность идеальных импульсов нулевой ширины и бесконечно большой амплитуды, площадью, равной u[kT]. Реально на объект действует последовательность импульсов конечной ширины T и конечной амплитуды, равной u[kT] (рис.1.3, а). Поэтому передаточную функцию объекта необходимо дополнить передаточной функцией формирователя W_Ф(p), преобразующего дискретную функцию u_(t) (или x_(t) на рис.1.3, б) в дискретную функцию u^*(t) (или x^*(t) на рис.1.3, а). Связь между этими функциями определяется очевидным выражением

.

Применяя преобразование Лапласа, получим

или

(1.18)

Результирующая передаточная функция непрерывной части

W_K(p)=W_Ф(p)W_O(p). (1.19)

На рис.1.4 представлена на основании (1.18) и (1.19) структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом.

Рис. 1.4. Структурная схема непрерывной части системы

с идеальным импульсным элементом

На рисунке показан общий случай для импульсов шириной Т_и. При ширине импульсов, выдаваемых формирующим элементом, равным периоду квантования (Т_и = Т), что чаще всего встречается на практике,

.

Используя свойства Z-преобразования, можно доказать, что

(1.20)

В качестве примера рассмотрим систему, представленную на рис.1.1, с объектом первого порядка (1.11) и управляющей ЭВМ, выполняющей функцию И-регулятора.

Согласно (1.20)

Используя таблицу 1, получим

.

Окончательно

(1.25)

где

.

У равнение непрерывного И-регулятора имеет вид

(1.26)

где e(τ) = u_З(τ) - u_OC(τ) - разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи (ошибка регулирования). Непрерывная передаточная функция регулятора имеет хорошо знакомый вид

(1.27)

Дискретный И-регулятор описывается уравнением

(1.28)

Выражение (1.28) представляет нерекуррентный алгоритм управления. Однако, для программирования ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы. Они основаны на использовании для вычисления управляющего воздействия u[kT] значение этого воздействия на предыдущем шаге расчета

(1.29)

Вычтем из уравнения (1.28) уравнение (1.29)

(1.30)

Это уравнение дает рекуррентный алгоритм дискретного И-регулятора

(1.31)

Для получения дискретной передаточной функции подвергнем

Z-преобразованию разностное уравнение (1.30)

.

Следовательно,

(1.32)

Заметим, что такое же выражение дает непосредственный переход, например, с помощью таблиц или D-преобразования от непрерывной передаточной функции (1.27) к дискретной.

Структурная схема рассматриваемой системы аналогична структуре непрерывной системы (рис.1.5).

Рис. 1.5. Структурная схема одноконтурной

дискретной системы управления

Результирующая передаточная функция этой системы согласно (1.25) и (1.32) имеет вид

и ли

(1.33)

где .

По этой передаточной функции (1.33) можно исследовать устойчивость замкнутой системы, определить оптимальный коэффициент регулятора K_И и так далее.