2. Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций.

Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы   на число   (обозначение:  ) заключается в построении матрицы  , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы   на это число, то есть каждый элемент матрицы   равен

Свойства умножения матриц на число:

• 1. 1A = A;

• 2. (λβ)A = λ(βA)

• 3. (λ+β)A = λA + βA

• 4. λ(A+B) = λA + λB

Сложение матриц

Сложение матриц   есть операция нахождения матрицы  , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц   и  , то есть каждый элемент матрицы   равен

Свойства сложения матриц:

• 1.коммутативность: A+B = B+A;

• 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

• 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

• 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение:  , реже со знаком умножения  ) — есть операция вычисления матрицы  , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице   должно совпадать с количеством строк в матрице  , иными словами, матрица   обязана быть согласованной с матрицей  . Если матрица   имеет размерность  ,   —  , то размерность их произведения   есть  .

Свойства умножения матриц:

• 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

• 2.некоммутативность (в общем случае): AB   BA;

• 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

• 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

• 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Транспонирование матрицы.

Нахождение обратной матрицы.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.