30. Первый замечательный предел
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известныхматематических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние
пределы 
и 
и
докажем, что они равны 1.
Пусть 
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(
).
Точка K —
точка пересечения луча с окружностью,
а точка L —
с касательной к единичной окружности
в точке 
.
Точка H —
проекция точки K на
ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где 
—
площадь сектора 
)
(из 
: 
)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при 
:
Умножаем
на 
:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
31. Второй замечательный предел
Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что 
.
Рассмотрим два случая:
1.
Пусть 
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами: 
,
где 
—
это целая часть x.
Отсюда
следует: 
,
поэтому
.
Если
,
то 
.
Поэтому, согласно пределу 
,
имеем:
.
По
признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов 
.
2.
Пусть 
.
Сделаем подстановку 
,
тогда
.
Из
двух этих случаев вытекает, что 
для
вещественного x. 
Следствия
для 
, 
32. Неопределенности. Сравнение бесконечно малых. Таблица эквивалентных замен
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
|
|
|
|
|
|
|
(Здесь 
-
бесконечно-малая величина, а 
-
бесконечно-большая величина)
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:
1) 
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен нулю, в этом случае говорят,
что p(x) бесконечно
малая функция более
высокого порядка и принято обозначать
p(x) = o(q(x)).
2) 
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен С - некоторой константе, в
этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно
малые функции одного порядка и принято
обозначать p(x) = O(q(x)).
3) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.
4) 
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен бесконечности, в этом случае
говорят, что g(x) бесконечно
малая функция более
высокого порядка и принято обозначать
q(x) = o(p(x)).
При 
справедливы
следующие соотношения эквивалентности
(как следствия из так называемых замечательных
пределов):
,
где 
;
,
где
;
,
поэтому используют выражение:
,
где
.