27. Функция, последовательность. Предел функции, предел последовательности.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств.

Функция   (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому^[3] элементу   из множества   ставится в соответствие единственный элемент   из множества  ^[4].

При этом говорят, что функция   задана на множестве  , или что   отображает   в  .

Если элементу   сопоставлен элемент  , то говорят, что элемент   находится в функциональной зависимости   от элемента  . При этом переменная   называетсяаргументом функции   или независимой переменной, множество   называется областью задания или областью определения функции, а элемент  , соответствующий конкретному элементу   — частным значением функции   в точке  . Множество   всех возможных частных значений функции   называется её областью значений илиобластью изменения.

Под числовой последовательностью х₁, х₂, x₃,..., х_n... понимается функция

x_n=f(n)                                         (15.1)

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х_n} или х_n, nєN. Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, х₂ — вторым,..., хn —общим или n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. 

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

                                                                               |x_n - a| < ε.                                                                              (6.1)

Записывают это следующим образом:   или x_n→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

                                                                           a- ε < x_n < a + ε,                                                                             (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < ε, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ“.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел, равный А, это записывается в виде

                                                                                .                                                                 (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной.

Последовательность с общим членом     является бесконечно малой, поскольку все ее члены, начиная с некоторого номера, становятся меньше любого положительного числа  ε.  Действительно, неравенство     эквивалентно неравенству     и, следовательно, выполняется для всех     одновременно, если в качестве номера  N  выбрать любое целое число, которое больше, чем   . Полагая, например,  ε = 0.001, получаем, что     для всех  n > 1000.  Бытовая интерпретация этого результата вполне очевидна: достаточно вообразить себе пирог, который мы пытаемся разделить сначала на 1000, затем на 1000000 и так далее гостей. При этом гости продолжают прибывать, так что вопрос: "Сколько же достанется каждому?" представляется вполне риторическим.

***

Последовательность     является бесконечно малой при   . Действительно, каждый член этой последовательности меньше соответствующего члена бесконечно малой последовательности     и, следовательно, элементы     образуют бесконечно малую последовательность:     Рис. 8. Бесконечно малая последовательность   .

***

Переменная     является бесконечно малой при   , поскольку для любого сколь угодно малого числа  ε > 0  неравенство     выполняется для всех номеров      Рис. 9. Бесконечно малая последовательность   .