14. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы и гиперболы.

15. Классификация кривых второго порядка. Приведение к каноническому виду. Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1. - уравнение эллипса.

2. - уравнение “мнимого” эллипса.

3. - уравнение гиперболы.

4. a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5. y² = 2px – уравнение параболы.

6. y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7. y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8. y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9. (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

10. Дано уравнение кривой второго порядка  . (1) Пример: ШАГ ПЕРВЫЙ Если в уравнении коэффициент  , т.е. присутствует слагаемое со смешанным произведением  , то необходимо перейти к такой системе координат  , в которой, уравнение (1) после преобразования не содержало бы слагаемое  . Это делается при помощи поворота системы координат на некоторый угол  , т.е. координаты заменяются по формулам: Значение этого угла   можно найти, решив уравнение  , или, оно же в другом виде .

11. Замечание: Как правило, решением тригонометрического уравнения является группу углов, повторяющихся с определенной периодичностью. Для того, чтобы определить угол поворота   для системы координат, следует выбрать любой понравившийся из полученного множества.

12. Замечание: Предположим, что для решения выбрано первое уравнение, но в исходной записи кривой  . Неопытный человек начинает паниковать, т.к. в знаменателе оказывается ноль, а на ноль в школе делить запрещали и т.д. и т.п. Опытный же тригонометривед, знакомый с азами математического анализа и теории пределов вспомнит, что: .

13. Пример:  Выберем корень уравнения с «плюсом» Казалось бы, все хорошо, тангенс угла найден. Но в замене нужны синус и косинус! Что же делать?!!! Следует воспользоваться тригонометрическими формулами Знак выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол, а, так как без разницы на какой угол поворачивать систему координат, лишь бы смешанное произведение   ушло, то выберем «+».

14. Замена:

15. Вывод: Слагаемых   нет.

16. ШАГ ВТОРОЙ На данный момент имеется:   (смешанных произведений координат нет.) Пример: Теперь, для каждой переменной, для которой коэффициенты при квадрате и при первой степени ненулевые следует применить выделение полного квадрата:

17. И сделать соответствующую замену: Уравнение примет вид: Пример:

18. Замена: Вывод: Уравнение примет вид:

19. Шаг третий, окончательный.

20. Итак, имеется уравнение Пример:

21. Остались последние алгебраические преобразования:

22. После чего можно определять тип кривой второго порядка по таблице, приведенной на предыдущей странице.

23. Пример: Это эллипс  , полуоси  .

24. Вывод: Для того, чтобы привести кривую второго порядка   к каноническому виду и определить тип кривой было сделано две замены: 1)  , которая повернула систему координат на угол  2)   — сдвинувшая начало координат. Объединим замены: Заметим, что начало координат окончательной системы координат расположено в точке с координатами .

16. Плоскость в пространстве. Основные типы уравнений.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой   и вектором  , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку   и составим вектор  . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы   и   взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:  , т. е.

         (12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них  ).

Уравнение (12.3) называется уравнением  плоскости,   проходящей через данную точку   перпендикулярно вектору  . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор   называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку  . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:

      (12.4)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например  , перепишем уравнение (12.4) в виде

   (12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором  , проходящей через точку  .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1.  Если D = 0, то оно принимает вид   . Этому уравнению удовлетворяет точка  . Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.

2.  Если С = 0, то имеем уравнение  . Нормальный вектор   перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.

3.  Если С = D = 0, то плоскость проходит через   параллельно оси Οz, т. е. плоскость  проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям   и   отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4.  Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид  , т. е.   Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям   и   отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.

5.  Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид  , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂) и М₃(х₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы  ,  ,  . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем    ,  т. е.

  (12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a, b и c, т. е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем  , т. е. или

         (12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора  , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на

плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).

П усть ОК = p, а α, β,  — углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор  . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора   на направление вектора   всегда равно р:  , т. е.   или

     (12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e, уравнение (12.8) перепишем в виде

        (12.9)

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на норми­рующий множитель  , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).

Пусть плоскость Q задана уравнением  , а прямая L уравнениями

 

.

Углом между прямой и плоскостью называет­ся любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через φ угол между плоскостью Q и прямой L, а через  — угол между векторами   и   (см. рис. 80). Тогда  . При этом  : если  ,

то  ; если  , то  .

    (12.17)

Острый угол между плоскостью Q и прямой L можно найти, взяв в фор­муле (12.17) модуль правой части.

Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы   и   перпенди­кулярны (см. рис. 81), а потому , т. е.

является условием параллельности прямой и плоскости.