1. Аксиомы поля. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая запись комплексного числа.

Комплексным числом   называется число вида  , где   и   – действительные числа,   – так называемая мнимая единица. Число   называется действительной частью ( )комплексного числа  , число   называется мнимой частью ( ) комплексного числа  .

Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой 

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексная плоскость состоит из двух осей:  – действительная ось (x)  – мнимая ось (y)

Множество действительных чисел   является подмножеством множества комплексных чисел 

Действия с комплексными числами

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части

Вычитание комплексных чисел

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака

Умножение комплексных чисел

раскрыть скобки по правилу умножения многочленов

Деление комплексных чисел

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Комплексные числа обладают многими свойствами, присущими действительным числам, из коих мы отметим следующие, называемые основными.

1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);

2) a + b = b + a (коммутативность сложения);

3) a + 0 = 0 + a = a (существование нейтрального элемента по сложению);

4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (существование противоположного элемента);

5) a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность умножения относительно сложения);

6) (a + b)c = ac + bc (дистрибутивность умножения относительно сложения);

7) (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения);

8) ab = ba (коммутативность умножения);

9) a∙1 = 1∙a = a (существование нейтрального элемента по умножению);

10) для любого a ≠ 0 существует такое b, что ab = ba = 1 (существование обрат­ного элемента);

11) 0 ≠ 1 (без названия).

Множество объектов произвольной природы, на котором определены операции сложения и умножения, обладающие указанными 11 свойствами (которые в данном случае являются аксиомами), называется полем.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен   имеет корень

Любое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в тригонометрической форме: , где   – это модуль комплексного числа, а   – аргумент комплексного числа.

Модулем комплексного числа   называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа   стандартно обозначают:   или 

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа:  . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа   называется угол   между положительной полуосьюдействительной оси   и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:  .

Аргумент комплексного числа   стандартно обозначают:   или 

Пусть   и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 

Отсюда получается 

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).