2. Пример проверки основной гипотезы

по критерию Пирсона

Пусть мы имеем ряд измерений скоростей сейсмических волн. Объем выборки N = 150, V_MAX = 3.81 км/с, V_MIN = 3.18 км/с. При уровне значимости  = 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально. По формуле Стерджеса определяем количество интервалов К и длину интервала V. В нашем случае К  7 и V  0,1 км/с. Ряд распределения значений признака (скорости ) приведен в таблице 3 (столбцы 1 - 5).

Таблица 3

№	Интер-валы		Цен-тры их	Час-тоты	Расчет стандарта					Теор. част-ости	Теор. час-тоты	Кри-тич. знач.
i	Vi	Vi+1	VCi	ni	(Vci-M)2ni	Zi	Zi+1	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi	ni	i2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	3.15	3.25	3.20	6	0.54	-	-1,88	-0,5	-0,4699	0,030	4,5	0,50
2	3,25	3,35	3,30	11	0,44	-1,88	-1,13	-0,4699	-0,3708	0,099	14,85	1,00
3	3,35	3,45	3,40	29	0,29	-1,13	-0,38	-0,3708	-0,1480	0,223	33,45	0,59
4	3,45	3,55	3,50	59	0	-0,38	0,38	-0,1480	0,1480	0,296	44,4	4,80
5	3,55	3,65	3,60	25	0,25	0,38	1,13	0,1480	0,3708	0,223	33,45	2,13
6	3,65	3,75	3,70	13	0,52	1,13	1,88	0,3708	0,4699	0,099	14,85	0,23
7	3,75	3,85	3,80	7	0,63	1,88		0,4699	0,5	0,030	4,5	1,39
			Суммы	150	2,67					1,00	150	10,64

Порядок вычислений следующий.

1. Вычисляем математическое ожидание М и стандарт  по формулам:

и .

В нашем случае М = 3,50 км/с и  = 0,133 км/с (столбец 6 - для вычисления  ).

2. Определяем нормированные по стандарту  переменные Z:

и .

Поскольку нас интересуют теоретические частоты, а интервал их изменения , крайние значения переменной берем равными -  и +  (столбцы 7 и 8 табл. 3).

3. По таблице, приведенной в приложении 1 (см. в конце) определяем значения функции Лапласа от нормированных переменных и (столбцы 9 и 10).

1. Затем определяем теоретические частости по формуле: ( столбец 11) Теоретические частоты n_i определяем, умножая значения на объем выборки N (столбец 12). В нашем случае N = 150. При расчетах обычно делают проверку - сумма всех значений в столбце 11 должна быть равна 1, а в столбце 12 - величине N.

5. Вычисляем значения критерия Пирсона по семи интервалам ( ). В столбце 13 табл. 3 приведены поинтервальные значения критерия, суммируя которые в соответствии с формулой (6), мы получаем искомую величину. В нашем случае = 10,64.

2. В соответствии с заданным уровнем значимости  и числом степеней свободы, по таблице критических точек распределения ² (приложение 2 в конце) определяем . Для нашего случая  = 0,05 и число степеней свободы S = K -3 = 4, поэтому . Поскольку  , нулевую гипотезу отвергаем.

Обычно если мы предполагали, что закон распределения скорее всего нормальный, а нулевую гипотезу пришлось отвергнуть, полезен повторный анализ выборки для оценки того, все ли значения принадлежат данной выборке. Возможно, мы включили в выборку часть образцов, принадлежащих к другой группе. В рассматриваемом случае, при анализе графиков практических и теоретических частот (рис. 5), мы можем заключить, что закон распределения не относится к нормальному потому, что в выборке присутствуют две группы образцов с разными значениями М и довольно большими дисперсиями. Видимо, следует более тщательно рассмотреть образцы с учетом данных геохимических анализов и тогда, возможно, удастся разделить эти выборки.