1. Нормальный закон распределения.

Нормальным (или гауссовым) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается функцией:

, (1)

где M - математическое ожидание,  - среднее квадратическое отклонение (стандарт) случайной величины X.

Как это видно из формулы (1), нормальное распределение определяется двумя параметрами - M и . При этом математическое ожидание (М), модальное значение (Mo) и медиана (Me) численно совпадают. В том случае, когда M = 0 и  = 1, нормальную кривую называют нормированной. При вычислении выборочных характеристик по вариационному ряду:

или , (2)

или , (3)

, ,

где D - дисперсия случайной величины, - значения случайной величины в центрах интервалов.

Рис. 1 Рис. 2

Например, для данных, приведенных в таблице 2:

M = (15 x 5 + 25 x 11 + 35 x 8 + 45 x 3) / 27 = 28,3 Ом м ,

или M = (15 x 0.185 + 25 x 0.408 + 35 x 0.296 + 45 x 0.111) = 28.3 Ом м ,

D = ² =[( 15-28.3)² x 5 + (25-28.3)² x 11 + (35-28.3)² x 8 + (45-28.3)² x 3] / 27 = 81.4 (Ом м)² ,

или D = ² =[(15-28.3)² x 0,185 + (25-28.3)² x 0,408 + (35-28.3)² x 0,296 + (45-28.3)² x 0,111] = =81.4 (Ом м)² ,

 = 9,02  9 Ом м.

Стандарт характеризует изменчивость случайной величины в истинных значениях, тогда как дисперсия характеризует изменчивость квадратов значений.

2. Логнормальный закон распределения.

Значения случайной величины X считаются распределенными логарифмически нормально, если логарифмы этих значений распределены по нормальному (Гауссовскому) закону. То есть, логарифмически нормальный закон можно считать логарифмически преобразованным нормальным законом, поэтому функция плотности вероятности логарифмов аналогична нормальному закону распределения:

, (4)

где , математическое ожидание величины , - стандарт величины (логарифмический стандарт).

Рис. 3 . Логнормальное распределение величины Х в линейном масштабе.

Рис. 4. Логнормальное распределение величины Х в логарифмическом масштабе.

Мода (Мо), медиана (Ме) и математическое ожидание (M) логнормально распределенной случайной величины X не равны между собой, а образуют неравенство Мо  Ме  М (рис. 3), тем более сильное, чем больше параметр .

Логнормальное распределение симметризуется с помощью логарифмического масштаба по оси абсцисс или если вместо случайной величины Х оперировать ее логарифмом Y = lg X (рис. 4). В последнем случае для вычислений статистических характеристик величины Y можно использовать формулы (2) и (3). Для перехода к статистическим характеристикам величины X необходимо лишь вычислить антилогарифмы соответствующих величин Y:

M(X) = ant lg M(Y) и (X) = ant lg (Y)

Как показывает практика геофизических работ, нормальным распределением удовлетворительно описываются магнитные поля над слабомагнитными породами (осадочные породы, кислые эффузивы, слабометаморфизованные сланцы и др.), а также магнитные свойства этих пород; поля _К над проводящими геологическими образованиями; плотности большинства горных пород; сейсмические скорости; поляризуемость горных пород вне рудных интервалов и т.п.

Логнормальным законом обычно удовлетворительно описываются поля таких пород, для которых характерен широкий диапазон изменения физических свойств. К ним относятся магнитные поля и магнитные свойства основных и ультраосновных изверженных пород, значения _К для большинства комплексов пород, поляризуемость в пределах рудных интервалов сульфидно-полиметаллических месторождений и т. д.