18. Производная функция.
Рассмотрим произвольную внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x). |
Разность |
|
где x - также внутренняя точка области определения, называется |
приращением аргумента в точке x0. Разность |
|
называется |
приращением функции в точке x0, соответствующим приращению |
|
и обозначается |
|
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения |
функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е. |
Основные свойства производных
Если в точке x существуют конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), |
то в этой точке существуют также производные суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:
1. |
|
||||
2. |
|
||||
3. |
|
||||
4. |
|
(при |
|
); |
|
5. |
|
|
|||
1. Производная сложной функции
Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, а функция y = g(x) имеет производную |
в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) |
также имеет производную в точке x0, причем
2. Достаточное условие монотонности функции
Если в каждой точке интервала (a; b) выполнено неравенство |
то функция y = f(x) возрастает на этом интервале. |
Если |
|
при |
|
то y = f(x) убывает на (a; b). |
3. Необходимое условие экстремума функции
Если точка x0 является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке |
существует производная |
|
то она равна нулю |
.
4. Признак максимума функции
Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке |
|
имеет производную |
|
на интервалах |
|
|
и |
|
на интервале |
|
и |
|
на интервале |
|
то точка |
x0 является точкой максимума функции |
|
5. Признак минимума функции
Если функция |
|
определена на интервале |
|
непрерывна в |
|||||||||||||
точке |
|
имеет производную |
|
на интервалах |
|
||||||||||||
|
и |
|
на интервале |
|
и |
|
на интервале |
||||||||||
|
то точка x0 является точкой минимума функции |
|
|||||||||||||||
Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек (точек из области определения, в которых производная функции обращается в ноль или не существует), нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных чисел.