1. Определение матриц. Виды матриц.   Определение 14.1   Матрицей размеров   называется прямоугольная таблица чисел, содержащая   строк и   столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.        

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки.

Укажем основные типы матриц.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Примеры диагональных матриц:

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква   . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например,    -- единичная матрица третьего порядка.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.

2. Действия над матрицами (сложение, умножение на число, произведение)

А) При сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

Суммой двух матриц наз. новая матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов сходных матриц. Складывать имеем право только матрицы, имеющие одинаковую размерность.

Св-ва сложения:

1. A + B = B + A -- свойство коммутативности;

2. A + (B + C) = (A+B)+C -- свойство ассоциативности;

3. A+0=A ;

4. A+(-A)=0 ;

Б) При умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например,   .

Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом:

что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Произведением матрицы “А” на число “К” называют новую матрицу КА, каждый элемент которой равен “Kaij”

В) Пусть   ,   . Найдем   :

Умножение прямоугольных матриц имеет смысл только в том случае., когда число СТОЛБЦОВ 1й матрицы равно числу СТРОК 2й матрицы.

В результате умножения разных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько и в 1й матрице и столько столбцов ,сколько и во 2й матрице.

A=(a11 a12) B=(b11 b12)

(a21 a22) (b21 b22)

AxB=(a11*b11 +a12*b12 a11*b12+a12*b12)

(a21*b11+a21*b21 a22*b12+a22*b22)

Cв-ва умножений:

1. x(A+B)=xA+xB -- свойство дистрибутивности;

2. (x+y)A=xA+yA ;

3. x(yA)=(xy)A ;

4. 1*A=A.

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

5. A + B = B + A -- свойство коммутативности;

6. A + (B + C) = (A+B)+C -- свойство ассоциативности;

7. A+0=A ;

8. A+(-A)=0 ;

9. x(A+B)=xA+xB -- свойство дистрибутивности;

10. (x+y)A=xA+yA ;

11. x(yA)=(xy)A ;

12. 1*A=A.Здесь A, B, C -- матрицы,  x, y-- числа, 0 -- нулевая матрица.3.

3. Определение матриц. Свойства определителей.

1°    При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

2°    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

3°    

То есть, если квадратная матрица   -го порядка умножается на некоторое ненулевое число  , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы   на число   в степени, равной порядку матриц. Пример:

Задание. Пусть определитель матрицы   третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы   .

Решение. По свойству 

Ответ. 

4°    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5°    Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример:

6°    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7°    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8°    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9°    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка   . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10°    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11°    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: