Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская открытая академия транспорта МИИТ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Экзамен 19.01.13.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

896.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

19. Формулы и правила дифференцирования.

Общие формулы дифференцирования (10 шт)

Формулы дифференцирования, производные основных элементарных функций (20 шт)

Дифференциал функции.

3.1.3. Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Дифференциал является функцией двух переменных и . Чтобы вычислить его значение в некоторой точке , следует задать не только значение , но и величину приращения аргумента .

Пример 1
Найти значение дифференциала для функции в точке при приращении аргумента .
Решение
Так как дифференциал , производная равна , а значение производной в заданной точке равно , то .
Замечание
Если , то дифференциал функции в точке является бесконечно малой того же порядка, что и отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка, чем , то есть . Это используют в приближенных вычислениях. Пусть требуется вычислить значение функции в точке и число достаточно мало. Тогда из формулы приращения функции можно получить соотношение , в котором приращение функции приближенно заменено дифференциалом.

Пример 2
Вычислить приближенно , заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Решение
Требуется вычислить значение функции в точке . Представим так, чтобы значение функции в точке легко вычислялось, а было бы достаточно (с учетом точности вычислений) малым. Ясно, что в предложенной задаче удобно взять и . Теперь обозначим , а значение функции в точке представим в виде , где - приращение функции, соответствующее приращению аргумента . Учитывая замечание, приращение функции приближенно заменим дифференциалом в точке при приращении аргумента . Получим , , . Поскольку , то .
Замечание
Следует заметить, что, поскольку приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем , то вычисления сделаны с абсолютной погрешностью, не превосходящей .