Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

15. Предел функции. Свойства.***********

16. Раскрытие неопределенностей. Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Бесконечно малая и бесконечно большая переменные

Функция  называется бесконечно малой при  , если

Из определения бесконечно малой следует, что это понятие относится только к переменным величинам, имеющим пределом нуль. Никакое фиксированное число, кроме нуля, не может быть бесконечно малым. Например, число  при некоторых условиях можно считать очень малой величиной, но не бесконечно малой, так как это – величина постоянная. Нуль – единственная постоянная, которая является бесконечно малой величиной, поскольку

Пример 1. Найти

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию  приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования, полагая  :

Функция  называется бесконечно большой при  , если функция  - бесконечно малая при  .

Если  есть бесконечно большая при  , то употребляют запись

Это означает, что по мере стремления  к  значения  неограниченно возрастают (убывают) и могут по модулю превзойти любое положительное число N, как бы велико оно ни было. Говорят, что бесконечно большая переменная имеет бесконечный предел.

Замечание 1. Бесконечный предел не является пределом в прежнем смысле слова, так как он означает не число, а неограниченное возрастание (убывание) функции.

Замечание 2. Бесконечно большая может быть только величиной переменной. Никакая постоянная, пусть даже очень большая по модулю, не является бесконечно большой, так как её предел равен самой постоянной, а не бесконечности.

Примерами бесконечно больших могут служить:

при  , поскольку

при  , так как

Пример 3.  Найти предел:

Решение.

17. Замечательные пределы.

Т е о р е м а  1.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция   является непрерывной, то   при  . Поэтому выражение   представляет собой неопределенность вида  . Раскроем эту неопределенность. Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 34)

при   (  Сравните площади треугольника  , сектора   и треугольника  ). Отсюда, деля на  , получаем

  или                              (1)

Рис. 34

Неравенства (1) верны и для  , так как функции   и   четные. Далее функция   непрерывна, поэтому

,

и, следовательно, переходя к пределу в (1), в силу теоремы 4 § 3.2 получим, что

.

П р и м е р  1.

.

Т е о р е м а  2.

.                                  (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения предела функции мы должны показать, что

                            (3)

Если   - натуральное, то это уже доказано. Чтобы доказать (2), достаточно убедиться в том, что (2) верно в двух случаях: когда   и когда   , пробегая не обязательно целые значения (см. замечание в конце § 3.2).

Пусть  - произвольная переменная, стремящаяся к    , и пусть   - целая часть числа  . Тогда   и

.

При    , откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к  . Поэтому

,

и так как при этом  , то мы доказали (3) для  .

Если теперь  , то   и

 

,

т. е. (2) доказано.

П р и м е р  2.

.

Получается из (2) заменой  .

П р и м е р  3.

.

При   это выражение сводится к пределу  , потому что по определению считается, что  .

Пусть теперь  . Если  , то   и

.

Надо учесть, что степенная функция   непрерывна в точке   (см. § 3.8, д)).

П р и м е р  4.

.

Так как   есть непрерывная функция на  , то (см. пример 2)

.

П р и м е р  5.

.

В самом деле, положим  . В силу непрерывности показательной функции   при  . Далее,   , поэтому (см. пример 4)

.