12 .Свойства функций (монотонность, четность, периодичность). Сложная функция.

Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной;  если же имеет место: f (-x) = - f (x), то функция называется нечётной.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T,  что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ).  Такое наименьшее число называется периодом функции.

Если для любых двух значений аргумента x₁и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f ( x₂ ) > f ( x₁ ), то функция f (x ) называется возрастающей;  если для любых x₁ и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f (x₂)< f (x₁),то функция f (x ) называется убывающей.  Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Сложная функция - это функция от функции.  Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h(х),  то у - cложная функция от х, то есть y = f (h(x)), определённой для тех значений х, для которых значения h(х) входят в множество определения функции f (u).

у является cложная функция независимого аргумента х, а u - промежуточным аргументом. Например, если у = u², u = sinx, то у = sin²х для всех значений х.  Если же, например, у = y= u , u = sinx, то y= sinx , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, cложная функция у как функция хопределена только для таких значений х, для которых sin 0, то есть для 2 k x +2 k k Z .

Рассмотрим функцию y = sin²(2x) . Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований: u = 2x   h = sin u   y = h², что может быть записано в общем виде: y = f (h (u (x))).  Здесь не одно правило для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия, используя которые получаем y как функцию от x.

Если функция задана формулой y = f(x) на D(f), то чтобы найти E(f) достаточно найти множество решений уравнения a = f(x), выразив x через a: x = g(a) т.е. найтиD(g).  Если функция сложная y = f (h(x)), то E(h) = D(f) и таким образом E(f) = f ( E (h)).

13. Основные элементарные функции.

Таблица основных свойств элементарных функций ( везде n Z )

Функция	Область определения	Область значения	Четность	Монотонное возрастание	Монотонное убывание	Периодичность
y = kx +b	R	R	-	k > 0	k < 0	-
y=xa	− ;0 0;+	− ;0 0;+	нечетная	a < 0	a > 0	-
y = |x|	R	0;+	четная	0;+	− ;0	-
y = x2	R	0;+	четная	0;+	− ;0	-
y= x	0;+	0;+	-	0;+	-	-
y=ax	R	0;+	-	a > 1	0 < a < 1	-
y=logax	0;+	R	-	a > 1	0 < a < 1	-
y = sin x	R	−1;1	нечетная	−2 +2 n;2 +2 n	2 +2 n;23 +2 n	2
y = cos x	R	−1;1	четная	− +2 n;2 n	2 n; +2 n	2
y = tg x	x =2 + n	R	нечетная	−2 + n;2 + n	-
y = ctg x	x = n	R	нечетная	-	n; + n

14. Предел функции. Определение и свойства (14 + 15 вопросы)

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Если при прочтении данного материала у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме, также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, геометрии, химии, теории вероятности и многим другим предметам.