4. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.

Минор

Определение

Минором   к элементу   определителя  -го порядка называется определитель  -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием  -той строки и  -того столбца.

Пример

Задание. Найти минор   к элементу   определителя  .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда 

Ответ. 

Алгебраическое дополнение

Определение

Алгебраическим дополнением   к элементу   определителя  -го порядка называется число 

Пример

Задание. Найти алгебраическое дополнение   к элементу  определителя   .

Решение. 

Ответ. 

Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам  -ой строки определителя равна определителю, в котором вместо  -ой строки записана "произвольная" строка.

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

4. Теорема о разложения определителя по строке или столбцу.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на ихалгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель 

Решение. 

Ответ. 

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель 

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. 

4. Обратная матрица.

На множестве матриц не определена операция деления, она заменена умножением на обратную матрицу.

Определение

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называетсявырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица   называется обратной к невырожденной матрице   , если   , где   - это единичная матрица соответствующего порядка.

Замечание

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°    

2°    

4. 3°    

5. 4°    

7. Решение систем уравнений. Матричный способ.

Замечание

С помощью данного метода можно находить решение только дляквадратных СЛАУ(Систем линейных алгебраических уравнений)

Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица   невырождена, то тогда с помощью операций над матрицамивыразим неизвестную матрицу   . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу   слева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу   надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Замечание

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ   матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы   и матрицу правых частей   . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю:  ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что

Тогда

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что  ,

Ответ.  , 

*************Пример

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему 

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

,

где   - матрица системы,   - столбец неизвестных,   - столбец правых частей. Тогда

Найдем обратную матрицу   к матрице   с помощью союзной матрицы:

Здесь   - определитель матрицы   ; матрица   - союзная матрица, она получена из исходной матрицы   заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем   , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы  :

    

    

    

    

Таким образом,

Определитель матрицы 

А тогда

Отсюда искомая матрица

Ответ.