40. Понятие об устойчивости. Теорема Лагранжа –Дирихле.
Если существует такое достаточно малое начальное отклонение стержня от положения равновесия, при котором силы стремятся вернуть стержень в положение равновесия, то такое положение равновесия считается устойчивым; Если силы отклоняют стержень еще сильнее — неустойчивое; если стержень после отклонения остается в равновесном положение — безразличное;
По Ляпунову: равновесие системы называется устойчивым, если для любого достаточно малого ε>0 можно выбрать два других таких малых числа η1>0 и η2>0, что при удовлетворении начальными значениями обобщенных координат и скоростей неравенств |q0i|<η1, |q˙0i|<η2 в любой момент времени все обобщенные координаты подчиняются условиям |qi(t)|<ε.
Т.
Лагранжа-Дирихле устанавливает
достаточные условия устойчивости
положения равновесия системы. Т.
утверждает: Для устойчивости положения
равновесия системы, подчиненной
голономным, идеальным, стационарным и
неосвобождающим связям и находящейся
в стационарном потенциальном силовом
поле, достаточно, чтобы потенциальная
энергия в положении равновесия имела
изолированный относительный минимум
41.Вывод и интегрирование дифференциального уравнения малых собственных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Частота и период, амплитуда и начальная фаза колебаний.
Величины, характеризующие механические колебания:
1) x(t) — координата тела (смещение тела из положения равновесия) в момент времени t:
x=f(t), f(t)=f(t + T),
где f(t) — заданная периодическая функция времени t,
Т — период этой функции.
2) А (А > 0) — амплитуда — максимальное смещение тела xmax или системы тел от положения равновесия.
3) Т — период — длительность одного полного колебания, т. е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание.
[T] = 1c.
4) ν — частота — число полных колебаний в единицу времени.
[ν] = 1 c-1 = 1 Гц.
5) ω — циклическая частота — число полных колебаний за промежуток времени Δt, равный 2π секунд:
ω= 2πν= 2π/T,
[ω] = 1 рад/с.
6) φ= ωt+ φ0 — фаза — аргумент периодической функции, определяющий значение изменяющейся физической величины в данный момент времени t.
[φ] = 1 рад (радиан)
7) φ0 — начальная фаза, определяющая положение тела в начальный момент времени (t0 = 0).
Гармоническими называются колебания, при которых зависимость координаты (смещения) тела от времени описывается формулами:
x(t) = xmaxcos(ωt + φ0) или x(t) = xmaxsin(ωt + φ0).
Кинематическим законом гармонических колебаний (законом движения) называется зависимость координаты от времени x(t), позволяет определить положение тела, его скорость, ускорение в произвольный момент времени.
Гармонической колебательной системой или одномерным гармоническим осциллятором называют систему (тело), которая совершает гармонические колебания, описываемые уравнением:
ax(t) + ω2х(t) = 0.
При гармонических колебаниях проекция ускорения точки прямо пропорциональна ее смещению из положения равновесия и противоположна ему по знаку.
Колебания материальной точки являются гармоническими, если они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия:
Fx= - kx,
где к- постоянный коэффициент.
Знак «-» в формуле отражает возвратный характер силы.
Положению равновесия соответствует точка x=0, при этом возвращающая сила равна нулю