Лекція № 13

Тема: Визначений інтеграл

План

1. Означення визначеного інтеграла

2. Теорема Ньютона - Лейбніца

3. Методи обчислення визначених інтегралів

4. Застосування визначених інтегралів до обчислення площ та об’ємів.

Література: М.В. Грисенко. Математика для економістів: методи й моделі, приклади й задачі. Навч. посібник. Київ, Либідь, 2007 р., 720 с. Зміст лекції

1. Означення визначеного інтеграла

Нехай функція визначена на відрізку . Поділимо цей відрізок на довільних частин

Для кожного елементарного відрізка визначимо його довжину та значення функції у довільній точці (рис. 1.).

Рис.1.

Визначення. Інтегральною сумою від функції на відрізку називається сума виду

Визначення. Визначеним інтегралом функції на цьому відрізку називається

границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля:

Числа та називаються відповідно нижньою та верхньою границями інтегрування.

Геометричний зміст визначеного інтеграла: це площа криволінійної трапеції, тобто фігури, обмеженої лініями (рис. 1):

Теорема. Достатньою умовою існування визначеного інтеграла на відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.

Основні властивості визначеного інтеграла:

,

де С - стала.

2. Теорема Ньютона - Лейбніца

Для знаходження значення визначеного інтеграла використовується формула Ньютона - Лейбніца:

де - первісна функції .

3. Методи обчислення визначених інтегралів

І. Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод ґрунтується на застосуваннях властивостей визначеного інтеграла та формули Ньютона - Лейбніца.

Розглянемо приклади:

ІІ. Метод підстановки

Метод підстановки, або метод заміни змінної базується на такій теоремі.

Теорема (про зміну змінної у визначеному інтегралі)

Припустимо, що функція задовольняє такі умови:

1) визначена на деякому проміжку , причому і ;

2) на проміжку існує неперервна похідна

Тоді справжня формула

яку називають формулою зміни змінної у визначеному інтегралі.

ІІІ. Метод інтегрування частинами

Теорема (про інтегрування частинами у визначеному інтегралі)

Нехай функції та неперервно диференційовні на проміжку . Тоді справедлива формула

,

Яку називають формулою інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Якщо - парна функція, то .

Якщо - непарна функція, то .

4. Застосування визначених інтегралів до обчислення площ та об’ємів.

Визначений інтеграл застосовується для обчислення площ плоских фігур:

Якщо криволінійна трапеція обмежена двома неперервними кривими і та прямими , причому для , то її площу знаходять за формулою

Визначений інтеграл застосовується для знаходження об’єму тіла, утвореного обертанням дуги кривої , навколо вісі OX:

або кривої , навколо ОY:

Завдання. Обчислити:

б) Інтегруємо по частинам:

в)

Завдання. Обчислити площу, обмежену лініями .