7.2. Некоторые свойства преобразования Лапласа

 

1.     Изображение постоянной величины

 

.                                    (7.3)

Пример:

,

2.     Свойство линейности

                      (7.4)

Пример:

i₁ÛI₁(p); i₂ÛI₂(p); i₁R₁+i₂R₂ ÛI₁(p)R₁+I₂(p)R₂

 

3.     Дифференцирование оригинала f(t)

 

f’(t)Û pF(p) - f(0) - при ненулевых начальных условиях         (7.5)

 

f’(t)Û pF(p) - при нулевых начальных условиях

 

Пример: iÛ I(p)

.

4.     Интегрирование оригинала

                               (7.6)

Пример: iÛ I(p)

.

20. Эквивалентные операторные схемы. Законы электротехники в операторной форме.

Анализ полученных выражений позволяет раз и навсегда нарисовать операторные схемы замещения элементов, из которых можно строить операторную схему замещения всей послекоммутационной схемы.

Из примеров видно, что источник тока отображается изображением источника тока, а ЭДС – изображением источника ЭДС.

Если бы в схеме был управляемый источник Еу(t)=n*i(t), то Еу(Р)=n1*I(Р), Аналогично с управляемым источником тока. Для учета взаимных индуктивностей можно поступить аналогично, при этом в схеме замещения появятся дополнительные источники ЭДС

Если же до коммутации в индуктивностях тока не было (расчет переходной и импульсной характеристики, передаточной функции), то никаких дополнительных источников не появится, а просто надо будет по прежним правилам учитывать напряжение взаимной индукции.

С учетом сказанного, под операторным методом понимают такой порядок действий.

1) В схеме до коммутации рассчитывают Uc(0_) и IL(0_).

2) Рисуют операторную схему замещения цепи после коммутации.

3) Самым эффективным методом находят изображение той величины, которую надо найти.

4) Переходят от изображения к оригиналу.

21. Нахождение с помощью обратных преобразований Лапласа. Теорема разложения и её вид при разном характере корней.

В часности, если все корни знаменателя простые, то.

22. Расчёт переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости g(t) будет входить переходная функция по напряжению.

порядок расчета методом интеграла Д.

1)Определение функции g(t) (или h(t)) для исследуемой цепи.

2)Запись выражения g(t-тау) (или h(t-тау)) путем формальной замены t на .

3)Определение производной u(тау) .

4)Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

22. Расчёт переходных процессов в нелинейных цепях методом последовательных приближений.

22. Расчёт переходных процессов методом условной линеализации. Подключение катушки с ферромагнитным сердечником к источнику постоянного напряжения.

Если пренебречь потерями в стали, возникающими при изменении магнитного потока, то

анализ процесса, возникающего при включении катушки со сталью на постоянное напряжение, можно свести к расчету схемы, приведенной на рис.10.1. Известно сопрoтивление R и веберамперная характеристика катушки Ψ(i), которая легко может быть построена для любой катушки с использованием основной кривой намагничивания сердечника.

По второму закону Кирхгофа запишем уравнение, определяющее состояние цепи во время ПП: u_L+u_К=U или Это дифуравнение является нелинейным из-за нелинейной связи между Ψ и i. После окончания ПП (t=∞) , поэтому ток . Потокосцепление Ψ_∞ может быть определено по характеристике катушки. Величины I_∞ и Ψ_∞ будем считать известными.

Рассмотрим решение этой задачи различными методами.

Метод условной линеаризации. Заменим характеристику Ψ(i) прямой линией, проходящей через точку установившегося режима (т.А рис.10.2), определяемую уравнением Ψ=L_эi, где L_э=Ψ_∞/I_∞ – эквивалентная индуктивность, соответствующая т.А. Перепишем дифуравнение цепи в виде:

Полученное уравнение является линейным и его решением является выражение где На рис.10.3,а показан график Ψ(t). Для каждого значения Ψ по характеристике катушки можно определить соответствующее значение тока и построить график i(t). Как видно из рис.10.3,а, кривая i(t) существенно отличается от экспоненты по которой изменялся бы ток в линейной цепи r, L. В начале процесса кривая идет более полого, а приближаясь к установившемуся режиму ток нарастает быстрее, чем в линейной цепи. Такое изменение тока можно объяснить исходя из зависимости дифференциальной индуктивности от тока (рис.10.3,б). Так как при малых токах L_д>L_э, а при больших L_д<L_э, то в начале процесса постоянная времени  велика и ток нарастает медленно, а в конце процесса  мала и ток нарастает быстро. Данным методом получено весьма приближенное решение, однако полученная кривая i(t) носит такой же характер как и при более строгом решении. Как видим сущность данного метода основана на приближенной замене нелинейной характеристики линейной и решения образовавшегося линейного уравнения с возможным последующим уточнением результата введением поправок. Метод дает очень приближенное решение, однако он наиболее прост и применяется при ориентировочных (прикидочных) расчетах, а так же в случаях, когда применение других методов либо невозможно, либо затруднено.