Переходные процессы в цепи (rlc) Порядок расчета классическим методом
При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 6.11). Для этого контура можно по аналогии с RL- и RC-цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости
Разряд ёмкости с на индуктивную катушку. Апериодический разряд.
Пусть в цепи, конденсатор был заряжен до напряжения uC(0-) = U0. Исследуем процессы в контуре, образованном резистором, конденсатором и катушкой после замыкания в момент t = 0 ключа. Так как источники в цепи отсутствуют, то установившиеся составляющие решений равны нулю. Решение будет состоять из одной свободной составляющей.
Апериодический процесс
Между разрядом конденсатора на резистор с катушкой и включением на постоянное напряжение контура существует аналогия. Так же, как при разряде конденсатора, установившаяся составляющая тока равна нулю. Установившееся напряжение на конденсаторе uCу = U. Следовательно, начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе
Рис. 5.17
uCсв(0+) = uC(0+) - uCу(0-)
равно uCсв(0+) = -U. То есть знаки постоянных интегрирования А1 и А2 в отличие от рассмотренного в п. 5.6 случая изменяются на противоположные. В этом случае переходное напряжение на конденсаторе, ток и напряжение на катушке определяются по формулам:
Кривые uC(t), uL(t) и i(t) приведены на рис. 5.17.
Предельный случай апериодического разряда.
При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора
где Rкр - критическое сопротивление резистора R, корни характеристического уравнения контура вещественные, равные и отрицательные:
p1 = p2 = p = -R / (2L).
Переходный процесс получается апериодическим, но граничным с колебательным процессом. Переходный ток и переходное напряжение в этом случае имеют вид:
uC = (A1 + A2 t) ept;
При начальных условиях uC(0) = U0; i(0) = 0 находим: А1 = U0; A2 = -p U0. С учетом найденных постоянных интегрирования получаем решения:
uC = U0 (1 - pt) ept;
Зависимости i, uC, uL такие же, как для апериодического разряда.
Колебательный разряд емкости «С» на индуктивную катушку. Декремент затухания.
При
соотношении параметров контура из
конденсатора, катушки и резистора ,
где RКР – критическое сопротивление цепи, корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:
p1,2 = -α ± jω,
где
α = R / (2L) – коэффициент затухания свободной
составляющей;
– угловая частота собственных колебаний
контура;
Т0
– период собственных колебаний.
Свободная составляющая переходного
напряжения при комплексно-сопряженных
корнях
uCсв = A e-αt sin(ω0t + ψ),
Для свободной составляющей тока
имеем
iсв = C A e-αt (-α sin(ω0t + ψ) + ω0 cos(ω0t + ψ)).
С учетом начальных условий при t = 0, uC = U0 , i = 0 из последних двух уравнений находим константы интегрирования: U0 = A sin ψ; 0 = C A (-α sin ψ + ω0 cos ψ).и далее
Зависимости
переходных напряжения и тока uC, i показаны
на рис. 5.15. Они представляют собой
затухающие синусоиды. Скорость затухания
колебаний оценивают декрементом
колебаний. Декремент колебания - это
постоянная, зависящая от параметров R,
L, С и равная отношению амплитуд переходных
параметров, отстающих друг от друга на
период колебания Т0, например:
Часто пользуются логарифмическим декрементом колебания:
В предельном случае чисто консервативной системы (R = 0) Δ = 1 колебания в параллельно соединенных конденсаторе и катушке носят незатухающий характер.
Включение (RLC) на постоянное напряжение.
Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий uс(0_) = 0, i(0_) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14). Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей uспр = U. Свободная составляющая uCCB определяется в зависимости от вида корней р1 и р2. Постоянные интегрирования А1 и А2находятся при этом из начальных условий i(0_) = 0, uс(0_) = 0 и законов коммутации для i и ис. Определим, например, закон изменения ис, i и uL в случае, когда корни р1 и р2 — вещественные и различные. При этом иCCB определяются уравнением (6.43), а напряжение ис и ток i имеют следующий вид:
Для
нахождения коэффициентов А1 и А2 используем
начальные условия uс(0_) = 0 и i(0_) = 0, а также
законы коммутации, определяемые
выражениями
Аналогичным
можно найти уравнения напряжений и тока
для случая R < 2ρ:
На
рис. 6.15 штриховой линией показана
зависимость (6.70), которая свидетельствует
о колебательном характере заряда
емкости. Таким же образом можно получить
уравнения для ис, i и uL для случая
критического заряда емкости С при R =
2ρ.
Общий случай расчёта переходных процессов колебательных методов.
Включение рассматриваемого контура на постоянное напряжение может сопровождаться колебательным переходным процессом. При этом в отличие от процесса разряда конденсатора (см. п. 5.6) знак начального значения преходящего напряжения, следовательно, и коэффициента А, изменится на противоположный. Переходные напряжения и ток приобретут вид:
Кривые uC(t) и i(t) показаны на рис. 5.18. Кривая тока отображает затухающие колебания относительно нулевого значения, а напряжения на конденсаторе – относительно установившегося значения. Следует отметить, что за время переходного процесса контура часть энергии источника переходит в тепло, а другая часть запасается в электрическом поле конденсатора в виде:
Расчёт переходных процессов при некоректных начальных условиях.
Существуют
такие виды коммутаций, при которых
возникает конфликт между законами
коммутации и законами Кирхгофа. Например,
в цепи см. рисунок 1.15 после коммутации
по первому закону Кирхгофа для узла а
должно иметь место равенство токов в
индуктивностях L1 и L2 , это станет возможным
при нарушении первого закона коммутации,
поскольку до размыкания значения токов
были различными. Разрешение этого
противоречия, очевидно, возможно при
обобщении принципа непрерывности
электромагнитного поля на все элементы
цепи (замкнутой системы). Отсюда, следует
невозможность изменения скачком
суммарной энергии, реактивных элементов
цепи. В данном случае энергия элементов
L1 и L2 до и после коммутации неизменна и
связана с равным колличеством
потокосцепления, т. е.
Первый обобщенный закон коммутации:
Потокосцепление любого замкнутого контура в момент после коммутации (t=0+) равно алгебраической сумме потокосцеплений всех входяших в него индуктивных элементов, которые последние имели непосредственно пред коммутацией (t=0-)
Второй обобщённый закон коммутации.
Изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю, т. е. Сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t=0-) равна сумме их зарядов непосредственно после коммутации (t=0+). .
Операторный метод расчётно- переходных процессов. Изображения простейших функций.
Основные свойства и теоремы преобразования Лапласа. Расчёт переходных процессов классическим методом сводится к решению дифференциальных уравнений. При этом основные трудности решения заключаются в определении постоянных интегрирования. По мере усложнения ЭЦ и соответственно повышения порядка дифференциальных уравнений эти трудности увеличиваются.
Более удобным является метод решения линейных дифференциальных уравнений, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и не требуется определять постоянные интегрирования. Таким методом является операторный метод.
В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область функции комплексного переменного р=с+jw, где операции принимают более простой вид: вместо интегродифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения (7.1) (7.2)
Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Функция f(t) определена при t³0 и при t<0 f(t)=0
(7.1)
(7.2)
Функция f(t) называется оригиналом, F(p)- её изображением. Фразу «оригинал f(t) имеет своим изображением F(p)» будем заменять символически с помощью знака соответствия Û
f(t) Û F(p) или F(p) Ûf(t).