19. Биноминальный закон распределение.
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности piвычисляют по формуле Бернулли
Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq, мода np-q ≤ Mo ≤ np+p, коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq, коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a=np и σ=√npq В пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ=np.
20.Распределение Пуассона.
Пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (будем называть это потоком событий). Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) равна λ. Пусть этот поток событий - простейший (пуассоновский), т.е. обладает тремя свойствами: 1) вероятность появления k событий за определённый промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчёта, другими словами, интенсивность потока есть постоянная величина (свойство стационарности); 2) вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись события в прошлом или нет (свойство «отсутствия последействия»); 3) появление более одного события за малый промежуток времени практически невозможно (свойствоординарности). Вероятность того, что за промежуток времени t событие произойдёт k раз, равна
21. Геометрическое распределение.
Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:
Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величинв может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам M(X) = 1/p, D(X) = q/p2
22. Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком А, либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Y, равная числу объектов, обладающих признаком А в случайной выборке объема n, где n<N. Например, число Y дефектных единиц продукции в случайной выборке объема n из партии объема N имеет гипергеометрическое распределение, если n<N. Другой пример – лотерея. Пусть признак А билета – это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов N, а некоторое лицо приобрело n из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение.
Для гипергеометрического распределения вероятность принятия случайной величиной Y значения y имеет вид
(20)
где D – число объектов, обладающих признаком А, в рассматриваемой совокупности объема N. При этом y принимает значения от max{0, n - (N - D)} до min{n, D}, при прочих y вероятность в формуле (20) равна 0. Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами – объемом генеральной совокупности N, числом объектов D в ней, обладающих рассматриваемым признаком А, и объемом выборки n.
Простой
случайной выборкой объема n из
совокупности объема N называется
выборка, полученная в результате
случайного отбора, при котором любой
из 
наборов
из n объектов
имеет одну и ту же вероятность быть
отобранным. Методы случайного отбора
выборок респондентов (опрашиваемых)
или единиц штучной продукции рассматриваются
в инструктивно-методических и
нормативно-технических документах.
Один из методов отбора таков: объекты
отбирают один из другим, причем на каждом
шаге каждый из оставшихся в совокупности
объектов имеет одинаковые шансы быть
отобранным. В литературе для рассматриваемого
типа выборок используются также термины
«случайная выборка», «случайная выборка
без возвращения».
Поскольку объемы генеральной совокупности (партии) N и выборки n обычно известны, то подлежащим оцениванию параметром гипергеометрического распределения является D. В статистических методах управления качеством продукции D – обычно число дефектных единиц продукции в партии. Представляет интерес также характеристика распределения D/N – уровень дефектности.
Для гипергеометрического распределения
Последний множитель в выражении для дисперсии близок к 1, если N>10n. Если при этом сделать замену p = D/N, то выражения для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения перейдут в выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения. Это не случайно. Можно показать, что
при N>10n, где p = D/N. Точнее, справедливо предельное соотношение
и этим предельным соотношением можно пользоваться при N>10n.