10.Схема Бернулли. Теорема Бернулли.

Определение: Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность любого исхода в каждом испытании не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Испытание Бернулли: Последовательными независимыми испытаниями называются испытания Бернулли, если в каждом испытании возможно два исхода и вероятности этих исходов не являются от испытания к испытанию.

n - число Испытаний Бернулли (ИБ)

успех...неудача - 2 исхода первого Испытания Бернулли

w= (0, 1, 1, 0,..., 1)-n

Р(У)=р Р(Н)=g

р+g=1

М(с хвостиком длинным) - число Успехов в n ИБ

М(с хвостиком длинным)= фигурные скобки- (0,n)

Теорема Бернулли: Пусть М(с хвостиком длинным) - число успехов в n ИБ с вероятностью успеха равная р и вероятностью неудачного g.

Тогда для любого К (скобки фигурные- 0,n) вероятность того, что число успехов равно k определено по формуле:

Успех в n ИБ с Р(У) = р, Р(Н) = 1 - р= g

тогда А - перевёрнутая к = 0, ..., n р (фигурные скобки- М(с хвостиком длинным)= К)= С к-сверху n-снизу р сверху - к g сверху n-к

Док-во:

Вк= (фигурные скобки М(с хвостиком длинным)=К)

Р(Вк) = знак суммы снизу- Wi принадлежит Вк р(Wi) = знак суммы снизу- Wi принадлежит Вк p сверху к умножить g сверху n-1= С к-сверху n-снизу р сверху - к g сверху n-к

Следствие:

1. р

(фигурные скобки М(с хвостиком длинным)- 0)= Pn (0) = gсверхуn

р

(фигурные скобки М(с хвостиком длинным)- n)= Pn (n) = pсверхуn

2. Р(ф.с.- хотя бы один успех)= Р (ф.с.М(с хвостиком длинным)знак больше или равно 1)=1 - р (ф.с. М(с хвостиком длинным)= 0) =1 - g сверху n

3. Р (ф.с. М(с хвостиком длинным) знак больше или равно К) = (ф.с М(с хвостиком длинным)= к) + (ф.с М(с хвостиком длинным) = К+1) + (ф.с М(с хвостиком длинным) = К+2) + ...+ (ф.с М(с хвостиком длинным) = n)

11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра - Лапласа.

Теорема (Пуассона). Пусть М(с хвостиком длинным)-число Успехов в n ИБ с Р(У) = р, тогда при n стрелка знак бесконечности, р стрелка 0, np= лямда = const.

знак предела n стрелка знак бесконечности Р(фигурные скобки М(с хвостиком длинным)=к)= знак лямда сверху -к дробь К е сверху минус лямда

Док-во:знак предела n стрелка знак бесконечности С к-сверху n-снизу р сверху - к (1 - р) сверху n-к = знак предела n!дробь К!(n-к) умножить (лямда дробь n) в степени к умножить ( 1- лямда дробь n) в степени n-к= знак предела n стрелка знак бесконечности лямда в степени к дробь К! умножить n(n-1)...(n- к+1)дробь n-к умножить (1 - лямда дробь n)в степени n умножить (1 - лямда дробь n)в степени минус К = лямда в степени к дробь К!

знак предела n стрелка знак бесконечности (1 - лямда дробь n)в степени n =лямда в степени к дробь К! умножить е^-х

Следовательно: n больше 1, р приближённо равно 0

Р(фигурные скобки М(с хвостиком длинным)=к)приближённо равно лямда в степени к дробь К! *е^-х, лямда=nр

12.Локальная теорема Муавра - Лапласа.n знак больше 1, nрg больше 20Р(фигурные скобки М(с хвостиком длинным)=к)приближённо равно 1 дробь корень квадратный из nрg умножить знак фи(к-nр дробь корень квадратный из nрg),фи(х) умножить 1 дробь корень квадратный из 2n е в степени минус хв квадрате на двоеР(ф.с. К1меньше или равно М(с хвостиком длинным)меньше или равно К2)

Интегральная формула М-Л

n знак больше 1, nрg больше 20.Р(ф.с. К, М(с хвостиком длинным)меньше или равно К2)приближённо равно фи (К2-nр дробь корень квадратный из nрg) - фи (К1-nр дробь корень квадратный из nрg)

фи(х) = интеграл от минус бесконечности до х фи (t)dt

фи(-х) =1 - фи(х)

фи0(нулевое)(х) = интеграл от 0 до х фи (t)dt

фи(х) =фи0(нулевое)(х) + 1/2

фи(-х)= Фи0(нулевое)(х)