44. Способы сравнения критериев. Наиболее мощные критерии. Лемма Неймана-Пирсона.

НЕЙМАНА - ПИРСОНА ЛЕММА

-лемма, утверждающая, что в задаче статнетич. проверки простой гипотезы Н о против простой альтернативы Н 1 отношения правдоподобия критерий является наиболее мощным критерием среди всех статистич. критериев, имеющих один и тот же заданный значимости уровень. Н.- П. л. доказана Ю. Нейманом и Э. Пирсоном [1]. Н.- П. л. часто наз. фундаментальной леммой математической статистики

Способы сравнения критериев

Ограничимся, для простоты, задачей сравнения двух простых гипотез.

Пусть имеются критерии   и   с ошибками 1-го и 2-го рода  ,   ,   .

Перечислим общепринятые подходы к сравнению критериев:

1. Минимаксный подход.

Говорят, что критерий   не хуже, чем   (в смысле минимаксного подхода), если

.

Определение 24.

Критерий   называют минимаксным критерием, если он лучше (не хуже) всех других критериев в смысле минимаксного подхода.

Иначе говоря, минимаксный критерий имеет самую маленькую "наибольшую ошибку"   среди всех прочих критериев.

Упражнение. Убедиться, что в примере 28 критерий   является минимаксным, если  .

2. Байесовский подход.

Этот подход применяют в двух случаях:  а) если известно априори, что с вероятностью   справедлива гипотеза  , а с вероятностью   - гипотеза  ,  б) если задана линейная "функция потерь": потери от ошибочного решения равны  , если происходит ошибка 1-го рода, и равны  , если второго. Здесь   уже не обязательно равно 1, но потери можно свести к единице нормировкой   и  . 

Говорят, что критерий   не хуже, чем   (в смысле байесовского подхода), если  .

Определение 25.

Критерий   называют байесовским критерием, если он лучше (не хуже) всех других критериев в смысле байесовского подхода.

Иначе говоря, байесовский критерий имеет самую маленькую "средневзвешенную ошибку"   среди всех прочих критериев. По формуле полной вероятности это есть вероятность ошибки критерия в случае (а), или математическое ожидание (среднее значение) потерь в случае (б).