6. Асимптотический анализ алгоритмов, способы оценки алгоритмов.

Теория асимптотического анализа алгоритмов рассматривает методы получения асимптотических оценок ресурсоемкости или времени выполнения алгоритмов, в частности, для рекурсивных алгоритмов. Асимптотический анализ позволяет оценить рост потребности алгоритма в ресурсах (например, времени выполнения) с увеличением объёма входных данных.

 Целью асимптотического анализа является сравнение затрат времени и других ресурсов различными алгоритмами, предназначенными для решения одной и той же задачи, при больших объёмах входных данных. Используемая в асимптотическом анализе оценка функции трудоёмкости, называемая сложностью алгоритма, позволяет определить, как быстро растет трудоёмкость алгоритма с увеличением объёма данных. В асимптотическом анализе алгоритмов используются обозначения, принятые в математическом асимптотическом анализе. Ниже перечислены основные оценки сложности.

Основной оценкой функции сложности алгоритма f(n) является оценка  . Здесь n — величина объёма данных или длина входа. Мы говорим, что оценка сложности алгоритма

если при g > 0 при n > 0 существуют положительные с₁, с₂, n₀, такие, что:

при n > n₀, иначе говоря, можно найти такие с₁ и c₂, что при достаточно больших n f(n) будет заключена между

 и  .

В таком случае говорят ещё, что функция g(n) является асимптотически точной оценкой функции f(n), так как по определению функция f(n) не отличается от функции g(n) с точностью до постоянного множителя

7. Длинная арифметика

Длинная арифметика — в вычислительной технике операции над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. По сути арифметика с большими числами представляет собой набор алгоритмов выполнения базовых операций (сложение, умножение, возведение в степень...) над числами, реализованными не аппаратно, а программно, используя более базовые аппаратные средства работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена только объёмом доступной памяти.

Известно, что арифметические действия, выполняемые компьютером в ограниченном числе разрядов, не всегда позволяют получить точный результат. Более того, мы ограничены размером (величиной) чисел, с которыми можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например,

30! == 265252859812191058636308480000000?

В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.

Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной" арифметики.

Организация работы с "длинными" числами во мно­гом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно запи­сать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.

При сложении «столбиком» двух чисел с разным количеством цифр, числа записываются так, чтобы последние цифры стояли друг под другом. Если мы храним число в массиве, то нам достаточно неудобно передвигать число с меньшим количеством знаков таким образом, чтобы младшие разряды стояли на одинаковых позициях. Кроме всего прочего результат сложения может состоять из большего количества цифр, чем каждое из слагаемых. В связи с этим нам может потребоваться записать цифру в самое начало (т. е. перед первой). Так как первая цифра записана в ячейке номер 1, то придется сдвинуть все число на одну позицию вправо и только после этого записать старшую цифру. В таком случае реализация становиться очень запутанной с большим количеством случаев и частыми сдвигами числа по массиву. Все это может привести к замедлению программы и большому количеству ошибок при реализации. Чтобы избежать этих трудностей, лучше хранить число «перевернутым», то есть, в первой ячейке массива будет записана младшая цифра (единицы), во второй будут записаны десятки и так далее. Это решает сразу все перечисленные проблемы. Во-первых, все числа теперь записаны так, что их последние цифры находятся друг под другом, во-вторых, чтобы добавить к числу цифру слева, нужно просто дописать ее в конец массива.